ГДЗ: Упражнение 1079 - § 62 (Размещения) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)
В шахматном турнире участвуют: 6 юношей и 2 девушки; 5 юношей и 3 девушки. Сколькими способами могут распределиться места среди девушек, если все участники турнира набирают разное количество очков.
1)
6 юношей и 2 девушки;
Ответ
Анализ условия:
Общее число участников: \( m = 6 \text{ (юношей)} + 2 \text{ (девушки)} = 8 \).
Все участники набирают разное количество очков, то есть все места (с 1 по 8) распределяются однозначно.
Нас интересует, сколькими способами могут распределиться места среди девушек. Это означает, что мы должны выбрать 2 места из 8 для двух девушек, и порядок имеет значение (например, 1-е место для девушки А и 2-е для девушки Б отличается от 2-го места для девушки А и 1-го для девушки Б).
Таким образом, мы ищем число способов, которыми 2 девушки могут занять 2 из 8 мест.
Это задача на размещения из \( m=8 \) мест по \( n=2 \) элементам (девушкам), то есть \( A_8^2 \).
Шаг 1: Определяем число размещений.
Искомое число способов равно \( A_8^2 \).
Шаг 2: Вычисляем \( A_8^2 \).
\( A_8^2 = 8 \cdot 7 \). (Произведение 2 последовательно убывающих целых чисел, начиная с 8).
\( A_8^2 = 56 \).
Ответ:
Места среди девушек могут распределиться 56 способами.
2)
5 юношей и 3 девушки.
Ответ
Анализ условия:
Общее число участников: \( m = 5 \text{ (юношей)} + 3 \text{ (девушки)} = 8 \).
Все места (с 1 по 8) распределяются однозначно.
Нас интересует, сколькими способами могут распределиться места среди девушек. Это означает, что мы должны выбрать 3 места из 8 для трех девушек, и порядок имеет значение (1-е, 2-е, 3-е места для девушек А, Б, В отличаются от 1-го, 3-го, 2-го).
Таким образом, мы ищем число способов, которыми 3 девушки могут занять 3 из 8 мест.
Это задача на размещения из \( m=8 \) мест по \( n=3 \) элементам (девушкам), то есть \( A_8^3 \).
Шаг 1: Определяем число размещений.
Искомое число способов равно \( A_8^3 \).
Шаг 2: Вычисляем \( A_8^3 \).
\( A_8^3 = 8 \cdot 7 \cdot 6 \). (Произведение 3 последовательно убывающих целых чисел, начиная с 8).
\( A_8^3 = 56 \cdot 6 = 336 \).
Ответ:
Места среди девушек могут распределиться 336 способами.
Что применять при решении
Определение размещений
Размещениями из \( m \) элементов по \( n \) элементов (\( n \le m \)) называются такие соединения, каждое из которых содержит \( n \) элементов, взятых из данных \( m \) разных элементов, и которые отличаются одно от другого либо самими элементами, либо порядком их расположения.
Число всевозможных размещений
Число всевозможных размещений из \( m \) элементов по \( n \) элементов обозначают \( A_m^n \) и читают «А из эм по эн».
Формула для вычисления числа размещений
Число размещений \( A_m^n \) вычисляется по формуле:
\( A_m^n = \frac{m!}{(m - n)!} \)
Связь между \( A_m^n \) и факториалом
Альтернативный вид формулы для вычисления числа размещений:
Создать проектГотовый файл Word. Оплата после того, как увидите работу.
Уведомление об авторском праве и цитировании
ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов
используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме,
оправданном поставленной целью.
Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве
(в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).
В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования
указаны для каждого используемого фрагмента.
