ГДЗ: Упражнение 1073 - Параграф § 62 (Размещения) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

1073 упражнение:

В классе изучают 8 предметов естественно-математического цикла. Сколькими способами можно составить расписание на пятницу, если в этот день должны быть:

1) 5 уроков из пяти разных предметов этого цикла;

Ответ

Анализ условия:

Всего предметов \( m = 8 \).

Нужно составить расписание из \( n = 5 \) уроков.

Поскольку порядок уроков имеет значение (например, математика первым уроком и физика вторым — это другое расписание, чем физика первым и математика вторым), и все предметы должны быть разными, это задача на размещения без повторений.

Шаг 1: Определяем число размещений.

Искомое число способов равно числу размещений из \( m=8 \) элементов по \( n=5 \) элементов: \( A_8^5 \).

Шаг 2: Вычисляем \( A_8^5 \).

Используем формулу \( A_m^n = m(m - 1)\cdots(m - n + 1) \).

\( A_8^5 = 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \). (Произведение 5 последовательно убывающих целых чисел, начиная с 8).

Вычисляем произведение:

\( 8 \cdot 7 = 56 \)

\( 6 \cdot 5 = 30 \)

\( 56 \cdot 30 = 1680 \)

\( 1680 \cdot 4 = 6720 \)

Ответ:

Расписание на пятницу можно составить 6720 способами.

2) 6 уроков из шести разных предметов этого цикла.

Ответ

Анализ условия:

Всего предметов \( m = 8 \).

Нужно составить расписание из \( n = 6 \) уроков.

Как и в предыдущем случае, это задача на размещения без повторений, так как порядок важен, и предметы должны быть разными.

Шаг 1: Определяем число размещений.

Искомое число способов равно числу размещений из \( m=8 \) элементов по \( n=6 \) элементов: \( A_8^6 \).

Шаг 2: Вычисляем \( A_8^6 \).

Используем формулу \( A_m^n = m(m - 1)\cdots(m - n + 1) \).

\( A_8^6 = 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \). (Произведение 6 последовательно убывающих целых чисел, начиная с 8).

Вычисляем произведение:

Из предыдущего варианта: \( 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 = 6720 \).

Тогда \( A_8^6 = 6720 \cdot 3 = 20160 \).

Ответ:

Расписание на пятницу можно составить 20160 способами.

Что применять при решении

Определение размещений

Размещениями из \( m \) элементов по \( n \) элементов (\( n \le m \)) называются такие соединения, каждое из которых содержит \( n \) элементов, взятых из данных \( m \) разных элементов, и которые отличаются одно от другого либо самими элементами, либо порядком их расположения.

Число всевозможных размещений

Число всевозможных размещений из \( m \) элементов по \( n \) элементов обозначают \( A_m^n \) и читают «А из эм по эн».

Формула для вычисления числа размещений

Число размещений \( A_m^n \) вычисляется по формуле:

\( A_m^n = \frac{m!}{(m - n)!} \)

Связь между \( A_m^n \) и факториалом

Альтернативный вид формулы для вычисления числа размещений:

\( A_m^n = m(m - 1)(m - 2) \cdots (m - n + 1) \)

Определение факториала нуля

По определению полагают, что:

\( 0! = 1 \)

Другие упражнения из параграфа § 62

1072 1073 1074 1075 1076 1077 1078 1079

Данные параграфа

К параграфу →

Глава: Глава 11
Параграф: § 62 — Размещения
Учебник: Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы
Автор: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год: 2025

Уведомление об авторском праве и цитировании

ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.