ГДЗ: Упражнение 1078 - Параграф § 62 (Размещения) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

1078 упражнение:

Упростить выражение:

1) \( \frac{A_n^9 \cdot P_{10 - n}}{P_8} \), где \( n \le 9 \)

Ответ

Шаг 1: Записываем формулы размещений и перестановок через факториалы.

\( A_n^9 = \frac{n!}{(n - 9)!} \). Условие \( n \ge 9 \).

\( P_{10 - n} = (10 - n)! \). Условие \( 10 - n \ge 0 \implies n \le 10 \).

\( P_8 = 8! \).

Учитывая \( n \le 9 \) и \( n \ge 9 \), получаем \(n=9\).

Шаг 2: Подставляем \( n=9 \) в выражение.

\( \frac{A_9^9 \cdot P_{10 - 9}}{P_8} = \frac{A_9^9 \cdot P_1}{P_8} \)

\( A_9^9 = 9! \) (Число перестановок из 9 элементов).

\( P_1 = 1! = 1 \).

\( P_8 = 8! \).

Шаг 3: Вычисляем значение.

\( \frac{9! \cdot 1}{8!} = \frac{9 \cdot 8!}{8!} = 9 \)

Ответ:

При условии \( n = 9 \), значение выражения равно 9.

2) \( \frac{P_{12}}{A_{13}^n \cdot P_{14 - n}} \), где \( n \le 13 \)

Ответ

Шаг 1: Записываем формулы размещений и перестановок через факториалы.

\( P_{12} = 12! \).

\( A_{13}^n = \frac{13!}{(13 - n)!} \). Условие \( n \le 13 \).

\( P_{14 - n} = (14 - n)! \). Условие \( 14 - n \ge 0 \implies n \le 14 \).

Общее условие: \( n \le 13 \).

Шаг 2: Подставляем в выражение.

\( \frac{12!}{\frac{13!}{(13 - n)!} \cdot (14 - n)!} \)

Шаг 3: Упрощаем знаменатель.

Разложим бо́льший факториал \( (14 - n)! \) как \( (14 - n) \cdot (13 - n)! \).

Знаменатель:
\( \frac{13!}{(13 - n)!} \cdot (14 - n)! = \frac{13!}{(13 - n)!} \cdot (14 - n)(13 - n)! = 13! \cdot (14 - n) \).

Шаг 4: Подставляем упрощенный знаменатель и вычисляем.

\( \frac{12!}{13! \cdot (14 - n)} \)

Разложим \( 13! \) как \( 13 \cdot 12! \).

\( \frac{12!}{13 \cdot 12! \cdot (14 - n)} = \frac{1}{13(14 - n)} \)

Ответ:

\( \frac{P_{12}}{A_{13}^n \cdot P_{14 - n}} = \frac{1}{13(14 - n)} \)

Что применять при решении

Определение размещений

Размещениями из \( m \) элементов по \( n \) элементов (\( n \le m \)) называются такие соединения, каждое из которых содержит \( n \) элементов, взятых из данных \( m \) разных элементов, и которые отличаются одно от другого либо самими элементами, либо порядком их расположения.

Число всевозможных размещений

Число всевозможных размещений из \( m \) элементов по \( n \) элементов обозначают \( A_m^n \) и читают «А из эм по эн».

Формула для вычисления числа размещений

Число размещений \( A_m^n \) вычисляется по формуле:

\( A_m^n = \frac{m!}{(m - n)!} \)

Связь между \( A_m^n \) и факториалом

Альтернативный вид формулы для вычисления числа размещений:

\( A_m^n = m(m - 1)(m - 2) \cdots (m - n + 1) \)

Определение факториала нуля

По определению полагают, что:

\( 0! = 1 \)

Другие упражнения из параграфа § 62

1072 1073 1074 1075 1076 1077 1078 1079

Данные параграфа

К параграфу →

Глава: Глава 11
Параграф: § 62 — Размещения
Учебник: Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы
Автор: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год: 2025

Уведомление об авторском праве и цитировании

ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.