ГДЗ: Упражнение 1076 - Параграф § 62 (Размещения) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

1076 упражнение:

Найти значение выражения:

1) \( \frac{A_{15}^9 - A_8^8}{A_{15}^2} \)

Ответ

Шаг 1: Вычисляем числитель \( A_{15}^9 - A_8^8 \).

Используем определение \( A_m^n = \frac{m!}{(m - n)!} \).

Вычисляем \( A_8^8 \): Это число перестановок из 8 элементов, которое равно \( P_8 = 8! \).
\( A_8^8 = \frac{8!}{(8 - 8)!} = \frac{8!}{0!} = \frac{8!}{1} = 8! \).

Вычисляем \( A_{15}^9 \):
\( A_{15}^9 = \frac{15!}{(15 - 9)!} = \frac{15!}{6!} \).

Подставляем в числитель:
\( A_{15}^9 - A_8^8 = \frac{15!}{6!} - 8! \).

Шаг 2: Вычисляем знаменатель \( A_{15}^2 \).

\( A_{15}^2 = 15 \cdot 14 = 210 \).

(Используем формулу произведения: \( A_m^n = m(m-1)\dots(m-n+1) \)).

Шаг 3: Перепроверяем формулу, так как результат должен быть целым (по аналогии с примером 1077).

Вероятно, в тексте учебника опечатка или предполагается, что \( A_{15}^9 - A_8^8 \) имеет общий множитель с \( A_{15}^2 \). Однако, прямое вычисление:
\( A_{15}^9 = 15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \).
\( A_8^8 = 8! = 40320 \).
\( A_{15}^2 = 210 \).
Прямой расчет: \( A_{15}^9 = 1816214400 \). \( A_{15}^9 - A_8^8 = 1816214400 - 40320 = 1816174080 \).
\( \frac{1816174080}{210} = 8648448 \).

Возможное исправление (основываясь на вероятной опечатке в задании, например, \( A_{15}^9 - A_{15}^8 \)):
Если бы было \( \frac{A_{15}^9 - A_{15}^8}{A_{15}^2} = \frac{A_{15}^8 (15 - 1)}{A_{15}^2} = \frac{A_{15}^8 \cdot 14}{15 \cdot 14} = \frac{A_{15}^8}{15} \). Это слишком сложно.
Принимаем оригинальный текст.

Ответ (по прямому вычислению):

\( \frac{A_{15}^9 - A_8^8}{A_{15}^2} = 8648448 \)

2) \( \frac{A_{10}^4 + A_{11}^4}{A_{18}^3} \)

Ответ

Шаг 1: Вычисляем \( A_{10}^4 \), \( A_{11}^4 \) и \( A_{18}^3 \).

Используем формулу произведения: \( A_m^n = m(m - 1)\cdots(m - n + 1) \).

\( A_{10}^4 \): \( 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 = 90 \cdot 56 = 5040 \).

\( A_{11}^4 \): \( 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 = 11 \cdot 720 = 7920 \).

\( A_{18}^3 \): \( 18 \cdot 17 \cdot 16 \).
\( 18 \cdot 17 = 306 \).
\( 306 \cdot 16 = 306 \cdot (10 + 6) = 3060 + 1836 = 4896 \).

Шаг 2: Вычисляем значение выражения.

Подставляем значения: \( \frac{5040 + 7920}{4896} = \frac{12960}{4896} \).

Шаг 3: Сокращаем дробь.

Оба числа делятся на 16:
\( 12960 / 16 = 810 \).
\( 4896 / 16 = 306 \).
Получаем \( \frac{810}{306} \).

Оба числа делятся на 18:
\( 810 / 18 = 45 \).
\( 306 / 18 = 17 \).
Получаем \( \frac{45}{17} \).

(Проверка: \( 12960 / 4896 = 2.64694... \))

Ответ:

\( \frac{A_{10}^4 + A_{11}^4}{A_{18}^3} = \frac{45}{17} \)

3) \( \frac{A_6^4}{A_5^4} \)

Ответ

Шаг 1: Вычисляем \( A_6^4 \) и \( A_5^4 \).

Используем формулу произведения: \( A_m^n = m(m - 1)\cdots(m - n + 1) \).

\( A_6^4 \): \( 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 = 360 \).

\( A_5^4 \): \( 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 = 120 \).

Шаг 2: Вычисляем значение выражения.

\( \frac{A_6^4}{A_5^4} = \frac{360}{120} = 3 \).

Альтернативный способ (через факториалы):
\( \frac{A_6^4}{A_5^4} = \frac{\frac{6!}{(6-4)!}}{\frac{5!}{(5-4)!}} = \frac{\frac{6!}{2!}}{\frac{5!}{1!}} = \frac{6!}{2!} \cdot \frac{1!}{5!} = \frac{6!}{2 \cdot 5!} = \frac{6 \cdot 5!}{2 \cdot 5!} = \frac{6}{2} = 3 \).

Ответ:

\( \frac{A_6^4}{A_5^4} = 3 \)

4) \( \frac{A_6^4}{A_5^3} \)

Ответ

Шаг 1: Вычисляем \( A_6^4 \) и \( A_5^3 \).

Используем формулу произведения: \( A_m^n = m(m - 1)\cdots(m - n + 1) \).

\( A_6^4 \): \( 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 = 360 \).

\( A_5^3 \): \( 5 \cdot 4 \cdot 3 = 60 \).

Шаг 2: Вычисляем значение выражения.

\( \frac{A_6^4}{A_5^3} = \frac{360}{60} = 6 \).

Альтернативный способ (через факториалы):
\( \frac{A_6^4}{A_5^3} = \frac{\frac{6!}{(6-4)!}}{\frac{5!}{(5-3)!}} = \frac{\frac{6!}{2!}}{\frac{5!}{2!}} = \frac{6!}{2!} \cdot \frac{2!}{5!} = \frac{6!}{5!} = \frac{6 \cdot 5!}{5!} = 6 \).

Ответ:

\( \frac{A_6^4}{A_5^3} = 6 \)

Что применять при решении

Определение размещений

Размещениями из \( m \) элементов по \( n \) элементов (\( n \le m \)) называются такие соединения, каждое из которых содержит \( n \) элементов, взятых из данных \( m \) разных элементов, и которые отличаются одно от другого либо самими элементами, либо порядком их расположения.

Число всевозможных размещений

Число всевозможных размещений из \( m \) элементов по \( n \) элементов обозначают \( A_m^n \) и читают «А из эм по эн».

Формула для вычисления числа размещений

Число размещений \( A_m^n \) вычисляется по формуле:

\( A_m^n = \frac{m!}{(m - n)!} \)

Связь между \( A_m^n \) и факториалом

Альтернативный вид формулы для вычисления числа размещений:

\( A_m^n = m(m - 1)(m - 2) \cdots (m - n + 1) \)

Определение факториала нуля

По определению полагают, что:

\( 0! = 1 \)

Другие упражнения из параграфа § 62

1072 1073 1074 1075 1076 1077 1078 1079

Данные параграфа

К параграфу →

Глава: Глава 11
Параграф: § 62 — Размещения
Учебник: Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы
Автор: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год: 2025

Уведомление об авторском праве и цитировании

ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.