ГДЗ: Упражнение 175 - Глава 2 (Итоговые упражнения) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)
Изобразить схематически график функции, указать её область определения и множество значений:
1)
\( y = x^3 \)
Ответ
Пояснение: Функция \( y = x^3 \) — степенная функция с натуральным нечетным показателем \( \alpha = 3 \).
Область определения: Куб любого действительного числа определен. \( D(y) = (-\infty; +\infty) \).
Множество значений: Функция монотонно возрастает и принимает любые значения. \( E(y) = (-\infty; +\infty) \).
График: Кубическая парабола, симметричная относительно начала координат.
Ответ: Область определения: \( (-\infty; +\infty) \). Множество значений: \( (-\infty; +\infty) \).
2)
\( y = 7x^0 \)
Ответ
Пояснение: Принимаем, что \( y = 7x^0 \). По определению, \( x^0 = 1 \) при \( x \ne 0 \). Следовательно, \( y = 7 \) при \( x \ne 0 \).
Область определения: Поскольку \( x^0 \) не определено при \( x = 0 \), область определения: \( D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty) \).
Множество значений: Функция принимает только одно значение \( 7 \). \( E(y) = \{7\} \).
График: Прямая \( y=7 \) с "выколотой" точкой \((0; 7)\).
Ответ: Область определения: \( (-\infty; 0) \cup (0; +\infty) \). Множество значений: \( \{7\} \).
3)
\( y = \sqrt{x} \)
Ответ
Пояснение: Функция \( y = \sqrt{x} \) (степенная функция с показателем \( \alpha = 0{,}5 = \frac{1}{2} \)). Корень четной степени определен только для неотрицательных чисел.
Область определения: Требуется \( x \ge 0 \). \( D(y) = [0; +\infty) \).
Множество значений: Квадратный корень всегда неотрицателен. \( E(y) = [0; +\infty) \).
График: Ветвь параболы \( x = y^2 \) при \( y \ge 0 \).
Ответ: Область определения: \( [0; +\infty) \). Множество значений: \( [0; +\infty) \).
4)
\( y = \frac{3}{\sqrt[3]{x}} \)
Ответ
Пояснение: Функция содержит кубический корень в знаменателе. Корень нечетной степени определен для всех \( x \in \mathbb{R} \). Однако знаменатель не должен быть равен нулю.
Область определения: Требуется \( \sqrt[3]{x} \ne 0 \), то есть \( x \ne 0 \). \( D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty) \).
Множество значений: При \( x \ne 0 \) функция принимает все действительные значения, кроме нуля. \( E(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty) \).
График: Функция нечетная, симметрична относительно начала координат. Имеет вертикальную асимптоту \( x=0 \) и горизонтальную асимптоту \( y=0 \).
Ответ: Область определения: \( (-\infty; 0) \cup (0; +\infty) \). Множество значений: \( (-\infty; 0) \cup (0; +\infty) \).
5)
\( y = x^{-2} \)
Ответ
Пояснение: Функция \( y = x^{-2} = \frac{1}{x^2} \). Определена для всех \( x \), кроме тех, где знаменатель равен нулю.
Область определения: Требуется \( x^2 \ne 0 \), то есть \( x \ne 0 \). \( D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty) \).
Множество значений: Так как \( x^2 > 0 \) при \( x \ne 0 \), то \( y = \frac{1}{x^2} > 0 \). \( E(y) = (0; +\infty) \).
График: Симметричен относительно оси \( Oy \). Асимптоты: \( x=0 \) и \( y=0 \).
Ответ: Область определения: \( (-\infty; 0) \cup (0; +\infty) \). Множество значений: \( (0; +\infty) \).
6)
\( y = x^{-3} \)
Ответ
Пояснение: Функция \( y = x^{-3} = \frac{1}{x^3} \). Определена для всех \( x \), кроме тех, где знаменатель равен нулю.
Область определения: Требуется \( x^3 \ne 0 \), то есть \( x \ne 0 \). \( D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty) \).
Множество значений: Функция принимает все ненулевые действительные значения. \( E(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty) \).
График: Нечетная, симметрична относительно начала координат. Асимптоты: \( x=0 \) и \( y=0 \).
Ответ: Область определения: \( (-\infty; 0) \cup (0; +\infty) \). Множество значений: \( (-\infty; 0) \cup (0; +\infty) \).
Что применять при решении
Свойства степенной функции \( y = x^\alpha \)
Область определения и множество значений степенной функции \( y = x^\alpha \) существенно зависит от показателя \( \alpha \). Если \( \alpha \in \mathbb{N} \), \( D(y) = \mathbb{R} \). Если \( \alpha \in \mathbb{Z}, \alpha < 0 \), то \( D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty) \). Если \( \alpha = \frac{1}{n} \) (корень \( n \)-й степени) и \( n \) четное, то \( D(y) = [0; +\infty) \). Монотонность функции: если \( \alpha > 0 \), функция возрастает на \( [0; +\infty) \); если \( \alpha < 0 \), функция убывает на \( (0; +\infty) \).
\( y = x^\alpha \)
Нахождение обратной функции
Чтобы найти функцию \( g(x) \), обратную к \( f(x) \), нужно выполнить два шага: 1) из уравнения \( y = f(x) \) выразить переменную \( x \) через \( y \); 2) поменять местами \( x \) и \( y \). Область определения \( D(g) \) равна множеству значений \( E(f) \), а \( E(g) \) равна \( D(f) \).
Если \( y = f(x) \), то \( x = f^{-1}(y) \). Обратная функция: \( y = f^{-1}(x) \)
Решение иррациональных уравнений
Иррациональные уравнения вида \( \sqrt[n]{f(x)} = g(x) \) решаются возведением обеих частей в степень \( n \). При четном показателе корня \( n \) обязательно нужно проверить условие: \( g(x) \ge 0 \) и \( f(x) \ge 0 \). При несоблюдении этих условий при возведении в четную степень могут появиться посторонние корни (уравнение может стать не равносильным исходному).
Уравнения \( f_1(x) = g_1(x) \) и \( f_2(x) = g_2(x) \) равносильны, если совпадают их множества корней. При преобразованиях (особенно возведении в четную степень) необходимо следить, чтобы ОДЗ нового уравнения совпадало с ОДЗ исходного или вводились дополнительные ограничения.
Уравнения \( A \) и \( B \) равносильны, если \( \text{Корни}(A) = \text{Корни}(B) \)
Создать проектГотовый файл Word. Оплата после того, как увидите работу.
Уведомление об авторском праве и цитировании
ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов
используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме,
оправданном поставленной целью.
Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве
(в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).
В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования
указаны для каждого используемого фрагмента.
