ГДЗ: Упражнение 176 - Глава 2 (Итоговые упражнения) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)
На одном рисунке построить графики функций \( y = x^2 \) и \( y = \sqrt{x} \). Сравнить значения этих функций при \( x \), равном \( 0; 0{,}5; 1; \frac{3}{2}; 2; 3; 4; 5 \).
1)
Ответ
Пояснение: Графики пересекаются в точках, где \( x^2 = \sqrt{x} \). Возведя в квадрат (при \( x \ge 0 \)), получаем \( x^4 = x \), откуда \( x(x^3 - 1) = 0 \). Корни: \( x = 0 \) и \( x = 1 \). На интервале \([0; 1) \) \( x^2 < \sqrt{x} \), а на \( (1; +\infty) \) \( x^2 > \sqrt{x} \).
Построение графиков:
График \( y = x^2 \) — парабола. График \( y = \sqrt{x} \) — ветвь параболы. Пересечение в \((0; 0)\) и \((1; 1)\).
Сравнение значений:
\( x \)
\( y = x^2 \)
\( y = \sqrt{x} \)
Сравнение
\( 0 \)
\( 0 \)
\( 0 \)
\( x^2 = \sqrt{x} \)
\( 0{,}5 \)
\( 0{,}25 \)
\( \approx 0{,}707 \)
\( x^2 < \sqrt{x} \)
\( 1 \)
\( 1 \)
\( 1 \)
\( x^2 = \sqrt{x} \)
\( \frac{3}{2} = 1{,}5 \)
\( 2{,}25 \)
\( \approx 1{,}225 \)
\( x^2 > \sqrt{x} \)
\( 2 \)
\( 4 \)
\( \approx 1{,}414 \)
\( x^2 > \sqrt{x} \)
\( 3 \)
\( 9 \)
\( \approx 1{,}732 \)
\( x^2 > \sqrt{x} \)
\( 4 \)
\( 16 \)
\( 2 \)
\( x^2 > \sqrt{x} \)
\( 5 \)
\( 25 \)
\( \approx 2{,}236 \)
\( x^2 > \sqrt{x} \)
Ответ: При \( x=0, x=1 \) значения равны; при \( x = 0{,}5 \) \( x^2 < \sqrt{x} \); при \( x \in \{1{,}5; 2; 3; 4; 5\} \) \( x^2 > \sqrt{x} \).
Что применять при решении
Свойства степенной функции \( y = x^\alpha \)
Область определения и множество значений степенной функции \( y = x^\alpha \) существенно зависит от показателя \( \alpha \). Если \( \alpha \in \mathbb{N} \), \( D(y) = \mathbb{R} \). Если \( \alpha \in \mathbb{Z}, \alpha < 0 \), то \( D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty) \). Если \( \alpha = \frac{1}{n} \) (корень \( n \)-й степени) и \( n \) четное, то \( D(y) = [0; +\infty) \). Монотонность функции: если \( \alpha > 0 \), функция возрастает на \( [0; +\infty) \); если \( \alpha < 0 \), функция убывает на \( (0; +\infty) \).
\( y = x^\alpha \)
Нахождение обратной функции
Чтобы найти функцию \( g(x) \), обратную к \( f(x) \), нужно выполнить два шага: 1) из уравнения \( y = f(x) \) выразить переменную \( x \) через \( y \); 2) поменять местами \( x \) и \( y \). Область определения \( D(g) \) равна множеству значений \( E(f) \), а \( E(g) \) равна \( D(f) \).
Если \( y = f(x) \), то \( x = f^{-1}(y) \). Обратная функция: \( y = f^{-1}(x) \)
Решение иррациональных уравнений
Иррациональные уравнения вида \( \sqrt[n]{f(x)} = g(x) \) решаются возведением обеих частей в степень \( n \). При четном показателе корня \( n \) обязательно нужно проверить условие: \( g(x) \ge 0 \) и \( f(x) \ge 0 \). При несоблюдении этих условий при возведении в четную степень могут появиться посторонние корни (уравнение может стать не равносильным исходному).
Уравнения \( f_1(x) = g_1(x) \) и \( f_2(x) = g_2(x) \) равносильны, если совпадают их множества корней. При преобразованиях (особенно возведении в четную степень) необходимо следить, чтобы ОДЗ нового уравнения совпадало с ОДЗ исходного или вводились дополнительные ограничения.
Уравнения \( A \) и \( B \) равносильны, если \( \text{Корни}(A) = \text{Корни}(B) \)
Создать проектГотовый файл Word. Оплата после того, как увидите работу.
Уведомление об авторском праве и цитировании
ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов
используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме,
оправданном поставленной целью.
Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве
(в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).
В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования
указаны для каждого используемого фрагмента.
