ГДЗ: Упражнение 178 - Глава 2 (Итоговые упражнения) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Пояснение: Решение уравнения \( f(x) = g(x) \) графически находится как абсцисса точки пересечения графиков функций \( y = f(x) \) и \( y = g(x) \). Построим графики \( y = \sqrt[3]{x} \) и \( y = x^2 + x - 1 \).

• График 1: \( y = \sqrt[3]{x} \) (Кубический корень)

  Проходит через \((0; 0), (1; 1), (-1; -1)\).

• График 2: \( y = x^2 + x - 1 \) (Квадратичная функция/парабола)

  Вершина параболы: \( x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{1}{2 \cdot 1} = -0{,}5 \). \( y_0 = (-0{,}5)^2 + (-0{,}5) - 1 = 0{,}25 - 0{,}5 - 1 = -1{,}25 \).
  Точки: \((0; -1), (1; 1), (-2; 1)\).

• Поиск пересечений:

  Из графического построения (или подстановкой) видно, что графики пересекаются в точке с абсциссой \( x = 1 \). Проверим: \( \sqrt[3]{1} = 1 \), \( 1^2 + 1 - 1 = 1 \). \( 1 = 1 \).

• Вывод: Графики пересекаются только в точке \( x = 1 \).

Ответ: Единственный корень уравнения \( x = 1 \).

Пояснение: Перепишем уравнение в виде \( x^2 + x^2 = 2 \), или \( 2x^2 = 2 \), или \( x^2 = 1 \). Графически это уравнение можно представить как пересечение графиков \( y = x^2 \) и \( y = 2 - x^2 \).

• График 1: \( y = x^2 \) (Парабола, ветви вверх, вершина в \((0; 0)\)).
• График 2: \( y = 2 - x^2 \) (Парабола, ветви вниз, вершина в \((0; 2)\)).
• Поиск пересечений:

  Точки пересечения: \( x^2 = 2 - x^2 \implies 2x^2 = 2 \implies x^2 = 1 \).

  Корни: \( x = 1 \) и \( x = -1 \).

  Проверим: При \( x=1 \): \( 1^2 = 1 \), \( 2 - 1^2 = 1 \). \( 1 = 1 \). При \( x=-1 \): \( (-1)^2 = 1 \), \( 2 - (-1)^2 = 1 \). \( 1 = 1 \).

• Вывод: Графики пересекаются в точках \((-1; 1)\) и \((1; 1)\).

Ответ: Корни уравнения \( x = -1 \) и \( x = 1 \).