ГДЗ: Упражнение 183 - Глава 2 (Итоговые упражнения) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Пояснение: Уравнение содержит корень нечетной степени. Возведем обе части в куб. Никаких дополнительных ограничений на ОДЗ не требуется.

• Шаг 1: Возведение в куб:

  \( (\sqrt[3]{3 - x})^3 = 2^3 \)

  \( 3 - x = 8 \)

• Шаг 2: Решение линейного уравнения:

  \( -x = 8 - 3 \)

  \( -x = 5 \)

  \( x = -5 \)

• Шаг 3: Проверка (необязательна для нечетной степени, но для уверенности):

  \( \sqrt[3]{3 - (-5)} = \sqrt[3]{8} = 2 \). Верно.

Ответ: \( x = -5 \).

Пояснение: Уравнение содержит корень четной степени. Условие равносильности: \( 3x + 1 = 8^2 \) и \( 3x + 1 \ge 0 \). Правая часть \( 8 \ge 0 \) выполняется.

• Шаг 1: Возведение в квадрат:

  \( (\sqrt{3x + 1})^2 = 8^2 \)

  \( 3x + 1 = 64 \)

• Шаг 2: Решение линейного уравнения:

  \( 3x = 64 - 1 \)

  \( 3x = 63 \)

  \( x = \frac{63}{3} = 21 \)

• Шаг 3: Проверка ОДЗ:

  Для \( x = 21 \): \( 3(21) + 1 = 63 + 1 = 64 \ge 0 \). Условие выполнено.

Ответ: \( x = 21 \).

Пояснение: Уравнение содержит корень четной степени. Условие равносильности: \( 3 - 4x = (2x)^2 \) при условии \( 2x \ge 0 \) и \( 3 - 4x \ge 0 \).

• Шаг 1: Условия равносильности (ОДЗ):

  1) Правая часть неотрицательна: \( 2x \ge 0 \implies x \ge 0 \).

  2) Выражение под корнем неотрицательно: \( 3 - 4x \ge 0 \implies 4x \le 3 \implies x \le \frac{3}{4} = 0{,}75 \).

  Общее ОДЗ: \( x \in [0; 0{,}75] \).

• Шаг 2: Возведение в квадрат:

  \( 3 - 4x = (2x)^2 \)

  \( 3 - 4x = 4x^2 \)

  \( 4x^2 + 4x - 3 = 0 \)

• Шаг 3: Решение квадратного уравнения:

  Дискриминант \( D = 4^2 - 4(4)(-3) = 16 + 48 = 64 \).

  Корни: \( x_{1, 2} = \frac{-4 \pm \sqrt{64}}{2(4)} = \frac{-4 \pm 8}{8} \).

  \( x_1 = \frac{-4 + 8}{8} = \frac{4}{8} = 0{,}5 \).

  \( x_2 = \frac{-4 - 8}{8} = \frac{-12}{8} = -1{,}5 \).

• Шаг 4: Проверка корней на ОДЗ:

  \( x_1 = 0{,}5 \): \( 0 \le 0{,}5 \le 0{,}75 \). Корень подходит.

  \( x_2 = -1{,}5 \): \( -1{,}5 < 0 \). Корень не подходит (посторонний).

Ответ: \( x = 0{,}5 \).

Пояснение: Уравнение \( \sqrt[5]{x - 1} = 3x - 3 \). Корень нечетной степени. Возведение в 5-ю степень не требует дополнительных ограничений.

• Шаг 1: Изолируем радикал:

  \( \sqrt[5]{x - 1} = 3x - 3 \)

• Шаг 2: Возведение в 5-ю степень:

  \( x - 1 = (3x - 3)^5 \)

  \( x - 1 = (3(x - 1))^5 \)

  \( x - 1 = 3^5 (x - 1)^5 \)

  \( x - 1 = 243 (x - 1)^5 \)

• Шаг 3: Перенос и вынесение общего множителя:

  \( 243 (x - 1)^5 - (x - 1) = 0 \)

  \( (x - 1) [243 (x - 1)^4 - 1] = 0 \)

• Шаг 4: Решение:

  Первый корень: \( x - 1 = 0 \implies x_1 = 1 \).

  Второй случай: \( 243 (x - 1)^4 - 1 = 0 \)

  \( (x - 1)^4 = \frac{1}{243} \)

  \( x - 1 = \pm \sqrt[4]{\frac{1}{243}} \) (Это не очень 'красивый' корень, проверим условие в учебнике, возможно, там опечатка и должно быть \( \sqrt{x - 1} + 3 = 3x \). Примем, что задание такое, какое есть).

  Так как \( 243 = 3^5 \), то \( (x-1)^4 = 3^{-5} \).

  Корни: \( x_{2, 3} = 1 \pm 3^{-5/4} = 1 \pm \frac{1}{\sqrt[4]{243}} \).

Ответ: \( x_1 = 1 \), \( x_{2, 3} = 1 \pm \frac{1}{\sqrt[4]{243}} \).

Пояснение: Уравнение содержит корень нечетной степени. Возведем обе части в пятую степень.

• Шаг 1: Возведение в пятую степень:

  \( (\sqrt[5]{x^2 - 17})^5 = 2^5 \)

  \( x^2 - 17 = 32 \)

• Шаг 2: Решение квадратного уравнения:

  \( x^2 = 32 + 17 \)

  \( x^2 = 49 \)

  \( x = \pm 7 \)

Ответ: \( x = -7 \) и \( x = 7 \).

Пояснение: Уравнение содержит корень четной степени. Условие равносильности: \( x^2 + 17 = 3^4 \) и \( x^2 + 17 \ge 0 \). Правая часть \( 3 \ge 0 \) и ОДЗ \( x^2 + 17 \ge 17 > 0 \) выполняются автоматически.

• Шаг 1: Возведение в четвертую степень:

  \( (\sqrt[4]{x^2 + 17})^4 = 3^4 \)

  \( x^2 + 17 = 81 \)

• Шаг 2: Решение квадратного уравнения:

  \( x^2 = 81 - 17 \)

  \( x^2 = 64 \)

  \( x = \pm 8 \)

Ответ: \( x = -8 \) и \( x = 8 \).