ГДЗ: Упражнение 181 - Глава 2 (Итоговые упражнения) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Пояснение: График функции, обратной к \( y = f(x) \), симметричен графику \( y = f(x) \) относительно прямой \( y = x \).

• Анализ графика \( y = f(x) \): График, представленный на рисунке 33, а), похож на график функции \( y = \sqrt{x} \) (или \( y = x^{\alpha} \) при \( 0 < \alpha < 1 \)). Он начинается в \((0; 0)\) и возрастает.
  • Проходит через \((0; 0)\), \((1; 1)\), \((4; 2)\) (если это \( y = \sqrt{x} \)).
• Построение обратного графика \( y = f^{-1}(x) \): Обратный график должен проходить через точки, где координаты поменяны местами.
  • Проходит через \((0; 0)\), \((1; 1)\), \((2; 4)\).
• Схематическое изображение: Получившийся график похож на ветвь параболы \( y = x^2 \) при \( x \ge 0 \).

Ответ: График обратной функции симметричен исходному относительно прямой \( y=x \). Он выглядит как ветвь параболы, выходящая из начала координат вверх (например, \( y = x^2 \) при \( x \ge 0 \)).

Пояснение: График функции, обратной к \( y = g(x) \), симметричен графику \( y = g(x) \) относительно прямой \( y = x \).

• Анализ графика \( y = g(x) \): График, представленный на рисунке 33, б), похож на график функции \( y = \sqrt[3]{x} + C \). Он проходит через \((0; 1)\), \((1; 2)\), \((8; 3)\). Его можно описать как \( y = \sqrt[3]{x} + 1 \).
  • \( D(g) = [0; +\infty) \), \( E(g) = [1; +\infty) \).
• Нахождение обратной функции (если \( y = \sqrt[3]{x} + 1 \)):

  \( y - 1 = \sqrt[3]{x} \)

  \( x = (y - 1)^3 \)

  Обратная: \( y = (x - 1)^3 \).

• Построение обратного графика \( y = g^{-1}(x) \):

  Обратный график проходит через \((1; 0)\), \((2; 1)\), \((3; 8)\). Он симметричен исходному относительно \( y=x \).

Ответ: График обратной функции симметричен исходному относительно прямой \( y=x \). Он выглядит как кубическая парабола, сдвинутая вправо на 1 (например, \( y = (x - 1)^3 \) при \( x \ge 1 \)).