ГДЗ: Упражнение 179 - Глава 2 (Итоговые упражнения) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)
Пояснение: Функция содержит корень нечетной степени (\( 3 \)). Корень нечетной степени определен для любого действительного числа, стоящего под знаком корня.
Условие: Никаких ограничений на выражение \( 1 - x \) нет.
Область определения: \( x \in \mathbb{R} \).
Ответ: \( D(y) = (-\infty; +\infty) \).
2)
\( y = \sqrt{2 - x^2} \)
Ответ
Пояснение: Функция содержит корень четной степени (\( 2 \)). Выражение под корнем должно быть неотрицательным.
Условие: \( 2 - x^2 \ge 0 \).
Решение неравенства: \( x^2 \le 2 \). Это эквивалентно \( |x| \le \sqrt{2} \), или \( -\sqrt{2} \le x \le \sqrt{2} \).
Область определения: \( x \in [-\sqrt{2}; \sqrt{2}] \).
Ответ: \( D(y) = [-\sqrt{2}; \sqrt{2}] \).
3)
\( y = (3x^2 + 1)^{-2} \)
Ответ
Пояснение: Функция \( y = \frac{1}{(3x^2 + 1)^2} \). Определена для всех \( x \), кроме тех, при которых знаменатель равен нулю.
Решение: Так как \( x^2 \ge 0 \), то \( 3x^2 \ge 0 \), и \( 3x^2 + 1 \ge 1 \). Таким образом, знаменатель никогда не равен нулю.
Область определения: \( x \in \mathbb{R} \).
Ответ: \( D(y) = (-\infty; +\infty) \).
4)
\( y = \sqrt{x^2 - x - 2} \)
Ответ
Пояснение: Функция содержит корень четной степени (\( 2 \)). Выражение под корнем должно быть неотрицательным.
Условие: \( x^2 - x - 2 \ge 0 \).
Решение неравенства: Найдем корни квадратного трехчлена \( x^2 - x - 2 = 0 \). По теореме Виета (или через дискриминант): \( x_1 = -1 \), \( x_2 = 2 \). Квадратный трехчлен с положительным старшим коэффициентом \( (1) \) неотрицателен вне интервала между корнями.
Область определения: \( x \in (-\infty; -1] \cup [2; +\infty) \).
Область определения и множество значений степенной функции \( y = x^\alpha \) существенно зависит от показателя \( \alpha \). Если \( \alpha \in \mathbb{N} \), \( D(y) = \mathbb{R} \). Если \( \alpha \in \mathbb{Z}, \alpha < 0 \), то \( D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty) \). Если \( \alpha = \frac{1}{n} \) (корень \( n \)-й степени) и \( n \) четное, то \( D(y) = [0; +\infty) \). Монотонность функции: если \( \alpha > 0 \), функция возрастает на \( [0; +\infty) \); если \( \alpha < 0 \), функция убывает на \( (0; +\infty) \).
\( y = x^\alpha \)
Нахождение обратной функции
Чтобы найти функцию \( g(x) \), обратную к \( f(x) \), нужно выполнить два шага: 1) из уравнения \( y = f(x) \) выразить переменную \( x \) через \( y \); 2) поменять местами \( x \) и \( y \). Область определения \( D(g) \) равна множеству значений \( E(f) \), а \( E(g) \) равна \( D(f) \).
Если \( y = f(x) \), то \( x = f^{-1}(y) \). Обратная функция: \( y = f^{-1}(x) \)
Решение иррациональных уравнений
Иррациональные уравнения вида \( \sqrt[n]{f(x)} = g(x) \) решаются возведением обеих частей в степень \( n \). При четном показателе корня \( n \) обязательно нужно проверить условие: \( g(x) \ge 0 \) и \( f(x) \ge 0 \). При несоблюдении этих условий при возведении в четную степень могут появиться посторонние корни (уравнение может стать не равносильным исходному).
Уравнения \( f_1(x) = g_1(x) \) и \( f_2(x) = g_2(x) \) равносильны, если совпадают их множества корней. При преобразованиях (особенно возведении в четную степень) необходимо следить, чтобы ОДЗ нового уравнения совпадало с ОДЗ исходного или вводились дополнительные ограничения.
Уравнения \( A \) и \( B \) равносильны, если \( \text{Корни}(A) = \text{Корни}(B) \)
Создать проектГотовый файл Word. Оплата после того, как увидите работу.
Уведомление об авторском праве и цитировании
ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов
используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме,
оправданном поставленной целью.
Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве
(в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).
В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования
указаны для каждого используемого фрагмента.
