ГДЗ: Упражнение 184 - Глава 2 (Итоговые упражнения) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)
Изобразить схематически на одном рисунке графики функций:
1)
\( y = \sqrt[5]{x}, y = \sqrt{x} \)
Ответ
Пояснение: Сравниваются степенные функции с дробными показателями: \( y = x^{\frac{1}{5}} \) и \( y = x^{\frac{1}{2}} \). Поскольку \( \frac{1}{5} < \frac{1}{2} \), на интервале \( (1; +\infty) \) график с меньшим показателем \( (y = \sqrt[5]{x}) \) находится ниже графика с большим показателем \( (y = \sqrt{x}) \), а на интервале \( (0; 1) \) — наоборот. Графики проходят через \((0; 0)\) и \((1; 1)\).
График \( y = \sqrt[5]{x} \): Определен на \( \mathbb{R} \). Медленнее растет, чем \( y = \sqrt{x} \), при \( x > 1 \).
График \( y = \sqrt{x} \): Определен на \( [0; +\infty) \). Быстрее растет, чем \( y = \sqrt[5]{x} \), при \( x > 1 \).
Ответ:
2)
\( y = \sqrt{x}, y = x^5 \)
Ответ
Пояснение: Сравниваются степенные функции: \( y = x^{\frac{1}{2}} \) и \( y = x^5 \). На интервале \( (1; +\infty) \) график с большим показателем \( (y = x^5) \) находится выше, а на интервале \( (0; 1) \) — ниже. Графики проходят через \((0; 0)\) и \((1; 1)\).
График \( y = \sqrt{x} \): Определен на \( [0; +\infty) \).
График \( y = x^5 \): Определен на \( \mathbb{R} \). При \( x > 1 \) очень быстро растет.
Ответ:
Что применять при решении
Свойства степенной функции \( y = x^\alpha \)
Область определения и множество значений степенной функции \( y = x^\alpha \) существенно зависит от показателя \( \alpha \). Если \( \alpha \in \mathbb{N} \), \( D(y) = \mathbb{R} \). Если \( \alpha \in \mathbb{Z}, \alpha < 0 \), то \( D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty) \). Если \( \alpha = \frac{1}{n} \) (корень \( n \)-й степени) и \( n \) четное, то \( D(y) = [0; +\infty) \). Монотонность функции: если \( \alpha > 0 \), функция возрастает на \( [0; +\infty) \); если \( \alpha < 0 \), функция убывает на \( (0; +\infty) \).
\( y = x^\alpha \)
Нахождение обратной функции
Чтобы найти функцию \( g(x) \), обратную к \( f(x) \), нужно выполнить два шага: 1) из уравнения \( y = f(x) \) выразить переменную \( x \) через \( y \); 2) поменять местами \( x \) и \( y \). Область определения \( D(g) \) равна множеству значений \( E(f) \), а \( E(g) \) равна \( D(f) \).
Если \( y = f(x) \), то \( x = f^{-1}(y) \). Обратная функция: \( y = f^{-1}(x) \)
Решение иррациональных уравнений
Иррациональные уравнения вида \( \sqrt[n]{f(x)} = g(x) \) решаются возведением обеих частей в степень \( n \). При четном показателе корня \( n \) обязательно нужно проверить условие: \( g(x) \ge 0 \) и \( f(x) \ge 0 \). При несоблюдении этих условий при возведении в четную степень могут появиться посторонние корни (уравнение может стать не равносильным исходному).
Уравнения \( f_1(x) = g_1(x) \) и \( f_2(x) = g_2(x) \) равносильны, если совпадают их множества корней. При преобразованиях (особенно возведении в четную степень) необходимо следить, чтобы ОДЗ нового уравнения совпадало с ОДЗ исходного или вводились дополнительные ограничения.
Уравнения \( A \) и \( B \) равносильны, если \( \text{Корни}(A) = \text{Корни}(B) \)
Создать проектГотовый файл Word. Оплата после того, как увидите работу.
Уведомление об авторском праве и цитировании
ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов
используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме,
оправданном поставленной целью.
Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве
(в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).
В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования
указаны для каждого используемого фрагмента.
