ГДЗ: Упражнение 354 - § 20 (Логарифмические неравенства) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)
Область определения логарифмической функции. Функция \( y = \lg (3x - 2) \) определена, когда её аргумент (выражение под логарифмом) строго положителен:
1. Условие: Аргумент логарифма должен быть больше нуля: \( 3x - 2 > 0 \).
2. Решение неравенства: Перенесём константу в правую часть: \( 3x > 2 \).
3. Окончательное решение: Разделим на 3: \( x > \frac{2}{3} \).
Ответ: Область определения функции: \( D(y) = (\frac{2}{3}; +\infty) \).
2)
\( y = \log_2 (7 - 5x) \)
Ответ
Область определения логарифмической функции. Функция \( y = \log_2 (7 - 5x) \) определена, когда её аргумент строго положителен:
1. Условие: Аргумент логарифма должен быть больше нуля: \( 7 - 5x > 0 \).
2. Решение неравенства: Перенесём \( 7 \) в правую часть: \( -5x > -7 \).
3. Окончательное решение: Разделим на \( -5 \). При делении на отрицательное число знак неравенства меняется: \( x < \frac{-7}{-5} \rightarrow x < \frac{7}{5} \).
Ответ: Область определения функции: \( D(y) = (-\infty; \frac{7}{5}) \).
3)
\( y = \log_{\frac{1}{3}} (x^2 - 2) \)
Ответ
Область определения логарифмической функции. Функция определена, когда аргумент логарифма строго положителен:
2. Решение неравенства: Перенесём \( x^2 \) в правую часть: \( 4 > x^2 \) или \( x^2 < 4 \).
3. Окончательное решение: Это неравенство эквивалентно двойному неравенству: \( -\sqrt{4} < x < \sqrt{4} \rightarrow -2 < x < 2 \).
Ответ: Область определения функции: \( D(y) = (-2; 2) \).
Что применять при решении
Область определения логарифмической функции
Логарифмическая функция \( y = \log_a f(x) \) определена только при условии, что её аргумент \( f(x) \) строго положителен, то есть \( f(x) > 0 \). Это условие является обязательным при решении логарифмических уравнений и неравенств.
\( \log_a f(x) \rightarrow f(x) > 0 \)
Свойство логарифмической функции (основание a > 1)
Если основание логарифма \( a > 1 \), то логарифмическая функция \( y = \log_a x \) является возрастающей. Это означает, что при отбрасывании знака логарифма знак неравенства сохраняется.
Если \( \log_a f(x) > \log_a g(x) \) и \( a > 1 \), то \( f(x) > g(x) \), при условии \( f(x) > 0 \) и \( g(x) > 0 \).
Свойство логарифмической функции (основание 0 < a < 1)
Если основание логарифма \( 0 < a < 1 \), то логарифмическая функция \( y = \log_a x \) является убывающей. Это означает, что при отбрасывании знака логарифма знак неравенства меняется на противоположный.
Если \( \log_a f(x) > \log_a g(x) \) и \( 0 < a < 1 \), то \( f(x) < g(x) \), при условии \( f(x) > 0 \) и \( g(x) > 0 \).
Свойство логарифмов: сумма логарифмов
Сумма логарифмов с одинаковым основанием равна логарифму произведения их аргументов. Применяется для преобразования левой части неравенства к одному логарифму.
\( \log_a x + \log_a y = \log_a (xy) \), при условии \( x > 0 \) и \( y > 0 \).
Свойство логарифмов: частное логарифмов
Разность логарифмов с одинаковым основанием равна логарифму частного их аргументов.
\( \log_a x - \log_a y = \log_a (\frac{x}{y}) \), при условии \( x > 0 \) и \( y > 0 \).
Замена числа логарифмом
Любое число \( b \) может быть представлено в виде логарифма с основанием \( a \): \( b = \log_a a^b \). Это часто используется для приведения обеих частей неравенства к одному логарифму.
Создать проектГотовый файл Word. Оплата после того, как увидите работу.
Уведомление об авторском праве и цитировании
ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов
используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме,
оправданном поставленной целью.
Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве
(в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).
В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования
указаны для каждого используемого фрагмента.
