ГДЗ: Упражнение 360 - Параграф § 20 (Логарифмические неравенства) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

360 упражнение:

Решить неравенство (359–367).

1) \( \log_{\frac{1}{3}} (x^2 - 4x + 3) < 1 \)

Ответ

1. Область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент: \( x^2 - 4x + 3 > 0 \). Корни \( x_1 = 1 \), \( x_2 = 3 \). \( x \in (-\infty; 1) \cup (3; +\infty) \).

2. Приведение к логарифмическому виду. \( 1 = \log_{\frac{1}{3}} \frac{1}{3} \). Неравенство: \( \log_{\frac{1}{3}} (x^2 - 4x + 3) < \log_{\frac{1}{3}} \frac{1}{3} \).

3. Решение логарифмического неравенства. Основание \( a = \frac{1}{3} \). Так как \( 0 < a < 1 \), знак неравенства меняется на \( > \): \( x^2 - 4x + 3 > \frac{1}{3} \).

а) \( x^2 - 4x + 3 - \frac{1}{3} > 0 \rightarrow x^2 - 4x + \frac{8}{3} > 0 \).
б) Найдём корни: \( 3x^2 - 12x + 8 = 0 \). \( D = (-12)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 8 = 144 - 96 = 48 \). \( x = \frac{12 \pm \sqrt{48}}{6} = \frac{12 \pm 4\sqrt{3}}{6} = 2 \pm \frac{2\sqrt{3}}{3} \). Корни: \( x_1 = 2 - \frac{2\sqrt{3}}{3} \approx 0.84 \), \( x_2 = 2 + \frac{2\sqrt{3}}{3} \approx 3.16 \).
в) Неравенство \( x^2 - 4x + \frac{8}{3} > 0 \) выполняется при \( x < 2 - \frac{2\sqrt{3}}{3} \) или \( x > 2 + \frac{2\sqrt{3}}{3} \).

4. Учёт ОДЗ. \( x \in (-\infty; 1) \cup (3; +\infty) \).

а) \( 2 - \frac{2\sqrt{3}}{3} \approx 0.84 < 1 \). Пересечение \( x < 0.84 \) с \( x < 1 \) дает \( x < 2 - \frac{2\sqrt{3}}{3} \).
б) \( 2 + \frac{2\sqrt{3}}{3} \approx 3.16 > 3 \). Пересечение \( x > 3.16 \) с \( x > 3 \) дает \( x > 2 + \frac{2\sqrt{3}}{3} \).

Ответ: \( (-\infty; 2 - \frac{2\sqrt{3}}{3}) \cup (2 + \frac{2\sqrt{3}}{3}; +\infty) \).

2) \( \log_{\frac{1}{5}} (x^2 - 3x + 2) \ge 1 \)

Ответ

1. Область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент: \( x^2 - 3x + 2 > 0 \). Корни \( x_1 = 1 \), \( x_2 = 2 \). \( x \in (-\infty; 1) \cup (2; +\infty) \).

2. Приведение к логарифмическому виду. \( 1 = \log_{\frac{1}{5}} \frac{1}{5} \). Неравенство: \( \log_{\frac{1}{5}} (x^2 - 3x + 2) \ge \log_{\frac{1}{5}} \frac{1}{5} \).

3. Решение логарифмического неравенства. Основание \( a = \frac{1}{5} \). Так как \( 0 < a < 1 \), знак неравенства меняется на \( \le \): \( x^2 - 3x + 2 \le \frac{1}{5} \).

а) \( x^2 - 3x + 2 - 0.2 \le 0 \rightarrow x^2 - 3x + 1.8 \le 0 \).
б) Найдём корни: \( 5x^2 - 15x + 9 = 0 \). \( D = (-15)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 9 = 225 - 180 = 45 \). \( x = \frac{15 \pm \sqrt{45}}{10} = \frac{15 \pm 3\sqrt{5}}{10} \). Корни: \( x_1 = \frac{15 - 3\sqrt{5}}{10} \approx 0.83 \), \( x_2 = \frac{15 + 3\sqrt{5}}{10} \approx 2.17 \).
в) Неравенство \( x^2 - 3x + 1.8 \le 0 \) выполняется при \( \frac{15 - 3\sqrt{5}}{10} \le x \le \frac{15 + 3\sqrt{5}}{10} \).

4. Учёт ОДЗ. \( x \in (-\infty; 1) \cup (2; +\infty) \).

а) \( 0.83 < 1 \). Пересечение с \( (-\infty; 1) \) дает: \( [\frac{15 - 3\sqrt{5}}{10}; 1) \).
б) \( 2 < 2.17 \). Пересечение с \( (2; +\infty) \) дает: \( (2; \frac{15 + 3\sqrt{5}}{10}] \).

Ответ: \( [\frac{15 - 3\sqrt{5}}{10}; 1) \cup (2; \frac{15 + 3\sqrt{5}}{10}] \).

3) \( \log_3 (x^2 + 2x) > 1 \)

Ответ

1. Область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент: \( x^2 + 2x > 0 \rightarrow x(x + 2) > 0 \). Корни \( x = 0 \), \( x = -2 \). \( x \in (-\infty; -2) \cup (0; +\infty) \).

2. Приведение к логарифмическому виду. \( 1 = \log_3 3 \). Неравенство: \( \log_3 (x^2 + 2x) > \log_3 3 \).

3. Решение логарифмического неравенства. Основание \( a = 3 > 1 \), знак сохраняется: \( x^2 + 2x > 3 \).

а) \( x^2 + 2x - 3 > 0 \). Найдём корни: \( x^2 + 2x - 3 = 0 \). По Виета \( x_1 = -3 \), \( x_2 = 1 \).
б) Неравенство: \( x < -3 \) или \( x > 1 \).

4. Учёт ОДЗ. Объединим \( x \in (-\infty; -2) \cup (0; +\infty) \) с \( x \in (-\infty; -3) \cup (1; +\infty) \).

а) Пересечение \( (-\infty; -2) \) и \( (-\infty; -3) \): \( (-\infty; -3) \).
б) Пересечение \( (0; +\infty) \) и \( (1; +\infty) \): \( (1; +\infty) \).

Ответ: \( (-\infty; -3) \cup (1; +\infty) \).

4) \( \log_2 (x^2 - 2,5x) < -1 \)

Ответ

1. Область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент: \( x^2 - 2,5x > 0 \rightarrow x(x - 2,5) > 0 \). Корни \( x = 0 \), \( x = 2,5 \). \( x \in (-\infty; 0) \cup (2.5; +\infty) \).

2. Приведение к логарифмическому виду. \( -1 = \log_2 2^{-1} = \log_2 \frac{1}{2} = \log_2 0.5 \). Неравенство: \( \log_2 (x^2 - 2,5x) < \log_2 0.5 \).

3. Решение логарифмического неравенства. Основание \( a = 2 > 1 \), знак сохраняется: \( x^2 - 2,5x < 0.5 \).

а) \( x^2 - 2,5x - 0.5 < 0 \), или \( 2x^2 - 5x - 1 < 0 \).
б) Найдём корни: \( D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 25 + 8 = 33 \). \( x = \frac{5 \pm \sqrt{33}}{4} \). Корни: \( x_1 = \frac{5 - \sqrt{33}}{4} \approx -0.186 \), \( x_2 = \frac{5 + \sqrt{33}}{4} \approx 2.686 \).
в) Неравенство \( 2x^2 - 5x - 1 < 0 \) выполняется при \( \frac{5 - \sqrt{33}}{4} < x < \frac{5 + \sqrt{33}}{4} \).

4. Учёт ОДЗ. \( x \in (-\infty; 0) \cup (2.5; +\infty) \).

а) \( x_1 \approx -0.186 \). Пересечение \( (-0.186; 2.686) \) с \( (-\infty; 0) \) дает: \( (\frac{5 - \sqrt{33}}{4}; 0) \).
б) \( x_2 \approx 2.686 \). Пересечение \( (-0.186; 2.686) \) с \( (2.5; +\infty) \) дает: \( (2.5; \frac{5 + \sqrt{33}}{4}) \).

Ответ: \( (\frac{5 - \sqrt{33}}{4}; 0) \cup (2,5; \frac{5 + \sqrt{33}}{4}) \).

Что применять при решении

Область определения логарифмической функции

Логарифмическая функция \( y = \log_a f(x) \) определена только при условии, что её аргумент \( f(x) \) строго положителен, то есть \( f(x) > 0 \). Это условие является обязательным при решении логарифмических уравнений и неравенств.

\( \log_a f(x) \rightarrow f(x) > 0 \)

Свойство логарифмической функции (основание a > 1)

Если основание логарифма \( a > 1 \), то логарифмическая функция \( y = \log_a x \) является возрастающей. Это означает, что при отбрасывании знака логарифма знак неравенства сохраняется.

Если \( \log_a f(x) > \log_a g(x) \) и \( a > 1 \), то \( f(x) > g(x) \), при условии \( f(x) > 0 \) и \( g(x) > 0 \).

Свойство логарифмической функции (основание 0 < a < 1)

Если основание логарифма \( 0 < a < 1 \), то логарифмическая функция \( y = \log_a x \) является убывающей. Это означает, что при отбрасывании знака логарифма знак неравенства меняется на противоположный.

Если \( \log_a f(x) > \log_a g(x) \) и \( 0 < a < 1 \), то \( f(x) < g(x) \), при условии \( f(x) > 0 \) и \( g(x) > 0 \).

Свойство логарифмов: сумма логарифмов

Сумма логарифмов с одинаковым основанием равна логарифму произведения их аргументов. Применяется для преобразования левой части неравенства к одному логарифму.

\( \log_a x + \log_a y = \log_a (xy) \), при условии \( x > 0 \) и \( y > 0 \).

Свойство логарифмов: частное логарифмов

Разность логарифмов с одинаковым основанием равна логарифму частного их аргументов.

\( \log_a x - \log_a y = \log_a (\frac{x}{y}) \), при условии \( x > 0 \) и \( y > 0 \).

Замена числа логарифмом

Любое число \( b \) может быть представлено в виде логарифма с основанием \( a \): \( b = \log_a a^b \). Это часто используется для приведения обеих частей неравенства к одному логарифму.

\( b = \log_a a^b \)

Другие упражнения из параграфа § 20

354 355 356 357 358 359 360 361 362 363 364 365 366 367

Данные параграфа

К параграфу →

Глава: Глава 4
Параграф: § 20 — Логарифмические неравенства
Учебник: Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы
Автор: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год: 2025

Уведомление об авторском праве и цитировании

ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.