ГДЗ: Упражнение 355 - § 20 (Логарифмические неравенства) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)
1. Область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть положителен: \( x + 2 > 0 \rightarrow x > -2 \).
2. Приведение к логарифмическому виду. Представим число \( 3 \) в виде логарифма по основанию \( 3 \): \( 3 = \log_3 3^3 = \log_3 27 \). Неравенство примет вид: \( \log_3 (x + 2) < \log_3 27 \).
3. Решение логарифмического неравенства. Основание логарифма \( a = 3 > 1 \), следовательно, функция возрастающая и знак неравенства сохраняется:
а) \( x + 2 < 27 \)
б) \( x < 27 - 2 \rightarrow x < 25 \)
4. Учёт ОДЗ. Объединим условие \( x > -2 \) и решение \( x < 25 \): \( -2 < x < 25 \).
Ответ: \( (-2; 25) \).
2)
\( \log_8 (4 - 2x) \ge 2 \)
Ответ
1. Область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть положителен: \( 4 - 2x > 0 \rightarrow -2x > -4 \rightarrow x < 2 \).
2. Приведение к логарифмическому виду. Представим число \( 2 \) в виде логарифма по основанию \( 8 \): \( 2 = \log_8 8^2 = \log_8 64 \). Неравенство: \( \log_8 (4 - 2x) \ge \log_8 64 \).
3. Решение логарифмического неравенства. Основание \( a = 8 > 1 \), знак неравенства сохраняется:
а) \( 4 - 2x \ge 64 \)
б) \( -2x \ge 64 - 4 \rightarrow -2x \ge 60 \)
в) Разделим на \( -2 \), меняя знак неравенства: \( x \le -30 \)
4. Учёт ОДЗ. Объединим условие \( x < 2 \) и решение \( x \le -30 \). Пересечение этих условий: \( x \le -30 \).
Ответ: \( (-\infty; -30] \).
3)
\( \log_3 (x + 1) < -2 \)
Ответ
1. Область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма: \( x + 1 > 0 \rightarrow x > -1 \).
2. Приведение к логарифмическому виду. Представим число \( -2 \) в виде логарифма по основанию \( 3 \): \( -2 = \log_3 3^{-2} = \log_3 \frac{1}{9} \). Неравенство: \( \log_3 (x + 1) < \log_3 \frac{1}{9} \).
3. Решение логарифмического неравенства. Основание \( a = 3 > 1 \), знак неравенства сохраняется:
а) \( x + 1 < \frac{1}{9} \)
б) \( x < \frac{1}{9} - 1 \rightarrow x < -\frac{8}{9} \)
4. Учёт ОДЗ. Объединим \( x > -1 \) и \( x < -\frac{8}{9} \). Так как \( -1 = -\frac{9}{9} \), имеем \( -\frac{9}{9} < x < -\frac{8}{9} \).
Ответ: \( (-1; -\frac{8}{9}) \).
4)
\( \log_{\frac{1}{3}} (x - 1) \ge -2 \)
Ответ
1. Область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма: \( x - 1 > 0 \rightarrow x > 1 \).
2. Приведение к логарифмическому виду. Представим число \( -2 \) в виде логарифма по основанию \( \frac{1}{3} \): \( -2 = \log_{\frac{1}{3}} (\frac{1}{3})^{-2} = \log_{\frac{1}{3}} 9 \). Неравенство: \( \log_{\frac{1}{3}} (x - 1) \ge \log_{\frac{1}{3}} 9 \).
3. Решение логарифмического неравенства. Основание \( a = \frac{1}{3} \). Так как \( 0 < a < 1 \), функция убывающая, и знак неравенства меняется на противоположный: \( \ge \) меняется на \( \le \):
а) \( x - 1 \le 9 \)
б) \( x \le 9 + 1 \rightarrow x \le 10 \)
4. Учёт ОДЗ. Объединим \( x > 1 \) и \( x \le 10 \): \( 1 < x \le 10 \).
Ответ: \( (1; 10] \).
Что применять при решении
Область определения логарифмической функции
Логарифмическая функция \( y = \log_a f(x) \) определена только при условии, что её аргумент \( f(x) \) строго положителен, то есть \( f(x) > 0 \). Это условие является обязательным при решении логарифмических уравнений и неравенств.
\( \log_a f(x) \rightarrow f(x) > 0 \)
Свойство логарифмической функции (основание a > 1)
Если основание логарифма \( a > 1 \), то логарифмическая функция \( y = \log_a x \) является возрастающей. Это означает, что при отбрасывании знака логарифма знак неравенства сохраняется.
Если \( \log_a f(x) > \log_a g(x) \) и \( a > 1 \), то \( f(x) > g(x) \), при условии \( f(x) > 0 \) и \( g(x) > 0 \).
Свойство логарифмической функции (основание 0 < a < 1)
Если основание логарифма \( 0 < a < 1 \), то логарифмическая функция \( y = \log_a x \) является убывающей. Это означает, что при отбрасывании знака логарифма знак неравенства меняется на противоположный.
Если \( \log_a f(x) > \log_a g(x) \) и \( 0 < a < 1 \), то \( f(x) < g(x) \), при условии \( f(x) > 0 \) и \( g(x) > 0 \).
Свойство логарифмов: сумма логарифмов
Сумма логарифмов с одинаковым основанием равна логарифму произведения их аргументов. Применяется для преобразования левой части неравенства к одному логарифму.
\( \log_a x + \log_a y = \log_a (xy) \), при условии \( x > 0 \) и \( y > 0 \).
Свойство логарифмов: частное логарифмов
Разность логарифмов с одинаковым основанием равна логарифму частного их аргументов.
\( \log_a x - \log_a y = \log_a (\frac{x}{y}) \), при условии \( x > 0 \) и \( y > 0 \).
Замена числа логарифмом
Любое число \( b \) может быть представлено в виде логарифма с основанием \( a \): \( b = \log_a a^b \). Это часто используется для приведения обеих частей неравенства к одному логарифму.
Создать проектГотовый файл Word. Оплата после того, как увидите работу.
Уведомление об авторском праве и цитировании
ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов
используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме,
оправданном поставленной целью.
Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве
(в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).
В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования
указаны для каждого используемого фрагмента.
