ГДЗ: Упражнение 362 - Параграф § 20 (Логарифмические неравенства) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

362 упражнение:

Решить неравенство (359–367).

1) \( \log_{\frac{1}{2}} \log_2 x^2 > 0 \)

Ответ

1. Область допустимых значений (ОДЗ). Должны быть положительны оба аргумента логарифмов:

а) Внутренний логарифм: \( x^2 > 0 \rightarrow x \ne 0 \).
б) Внешний логарифм: \( \log_2 x^2 > 0 \). Представим \( 0 \) как \( \log_2 1 \). Основание \( a = 2 > 1 \), знак сохраняется: \( x^2 > 1 \rightarrow |x| > 1 \). \( x \in (-\infty; -1) \cup (1; +\infty) \).

2. Решение логарифмического неравенства. Представим \( 0 \) как \( \log_{\frac{1}{2}} 1 \). Неравенство: \( \log_{\frac{1}{2}} \log_2 x^2 > \log_{\frac{1}{2}} 1 \).

а) Основание \( a = \frac{1}{2} \). Так как \( 0 < a < 1 \), знак неравенства меняется на \( < \): \( \log_2 x^2 < 1 \).
б) Представим \( 1 \) как \( \log_2 2 \). Неравенство: \( \log_2 x^2 < \log_2 2 \).
в) Основание \( a = 2 > 1 \), знак сохраняется: \( x^2 < 2 \).
г) \( |x| < \sqrt{2} \rightarrow -\sqrt{2} < x < \sqrt{2} \).

3. Учёт ОДЗ. Объединим \( x \in (-\sqrt{2}; \sqrt{2}) \) и \( x \in (-\infty; -1) \cup (1; +\infty) \).

а) \( -\sqrt{2} \approx -1.414 \). Пересечение: \( (-\sqrt{2}; -1) \cup (1; \sqrt{2}) \).

Ответ: \( (-\sqrt{2}; -1) \cup (1; \sqrt{2}) \).

2) \( \log_2 \log_{\frac{1}{3}} (x^2 - 1) < 1 \)

Ответ

1. Область допустимых значений (ОДЗ). Должны быть положительны оба аргумента логарифмов:

а) Внутренний логарифм: \( x^2 - 1 > 0 \rightarrow |x| > 1 \). \( x \in (-\infty; -1) \cup (1; +\infty) \).
б) Внешний логарифм: \( \log_{\frac{1}{3}} (x^2 - 1) > 0 \). Представим \( 0 \) как \( \log_{\frac{1}{3}} 1 \). Основание \( a = \frac{1}{3} \). Так как \( 0 < a < 1 \), знак меняется на \( < \): \( x^2 - 1 < 1 \). \( x^2 < 2 \rightarrow -\sqrt{2} < x < \sqrt{2} \).

в) ОДЗ: Пересечение \( |x| > 1 \) и \( |x| < \sqrt{2} \): \( (-\sqrt{2}; -1) \cup (1; \sqrt{2}) \).

2. Решение логарифмического неравенства. Представим \( 1 \) как \( \log_2 2 \). Неравенство: \( \log_2 \log_{\frac{1}{3}} (x^2 - 1) < \log_2 2 \).

а) Основание \( a = 2 > 1 \), знак сохраняется: \( \log_{\frac{1}{3}} (x^2 - 1) < 2 \).
б) Представим \( 2 \) как \( \log_{\frac{1}{3}} (\frac{1}{3})^2 = \log_{\frac{1}{3}} \frac{1}{9} \). Неравенство: \( \log_{\frac{1}{3}} (x^2 - 1) < \log_{\frac{1}{3}} \frac{1}{9} \).
в) Основание \( a = \frac{1}{3} \). Так как \( 0 < a < 1 \), знак меняется на \( > \): \( x^2 - 1 > \frac{1}{9} \). \( x^2 > 1 + \frac{1}{9} \rightarrow x^2 > \frac{10}{9} \).
г) \( |x| > \sqrt{\frac{10}{9}} \rightarrow x < -\frac{\sqrt{10}}{3} \) или \( x > \frac{\sqrt{10}}{3} \). \( \frac{\sqrt{10}}{3} \approx 1.054 \).

3. Учёт ОДЗ. ОДЗ: \( (-\sqrt{2}; -1) \cup (1; \sqrt{2}) \). Решение: \( (-\infty; -\frac{\sqrt{10}}{3}) \cup (\frac{\sqrt{10}}{3}; +\infty) \).

а) \( -\sqrt{2} \approx -1.414 \), \( -\frac{\sqrt{10}}{3} \approx -1.054 \). Пересечение: \( (-\sqrt{2}; -\frac{\sqrt{10}}{3}) \).
б) \( \frac{\sqrt{10}}{3} \approx 1.054 \), \( \sqrt{2} \approx 1.414 \). Пересечение: \( (\frac{\sqrt{10}}{3}; \sqrt{2}) \).

Ответ: \( (-\sqrt{2}; -\frac{\sqrt{10}}{3}) \cup (\frac{\sqrt{10}}{3}; \sqrt{2}) \).

Что применять при решении

Область определения логарифмической функции

Логарифмическая функция \( y = \log_a f(x) \) определена только при условии, что её аргумент \( f(x) \) строго положителен, то есть \( f(x) > 0 \). Это условие является обязательным при решении логарифмических уравнений и неравенств.

\( \log_a f(x) \rightarrow f(x) > 0 \)

Свойство логарифмической функции (основание a > 1)

Если основание логарифма \( a > 1 \), то логарифмическая функция \( y = \log_a x \) является возрастающей. Это означает, что при отбрасывании знака логарифма знак неравенства сохраняется.

Если \( \log_a f(x) > \log_a g(x) \) и \( a > 1 \), то \( f(x) > g(x) \), при условии \( f(x) > 0 \) и \( g(x) > 0 \).

Свойство логарифмической функции (основание 0 < a < 1)

Если основание логарифма \( 0 < a < 1 \), то логарифмическая функция \( y = \log_a x \) является убывающей. Это означает, что при отбрасывании знака логарифма знак неравенства меняется на противоположный.

Если \( \log_a f(x) > \log_a g(x) \) и \( 0 < a < 1 \), то \( f(x) < g(x) \), при условии \( f(x) > 0 \) и \( g(x) > 0 \).

Свойство логарифмов: сумма логарифмов

Сумма логарифмов с одинаковым основанием равна логарифму произведения их аргументов. Применяется для преобразования левой части неравенства к одному логарифму.

\( \log_a x + \log_a y = \log_a (xy) \), при условии \( x > 0 \) и \( y > 0 \).

Свойство логарифмов: частное логарифмов

Разность логарифмов с одинаковым основанием равна логарифму частного их аргументов.

\( \log_a x - \log_a y = \log_a (\frac{x}{y}) \), при условии \( x > 0 \) и \( y > 0 \).

Замена числа логарифмом

Любое число \( b \) может быть представлено в виде логарифма с основанием \( a \): \( b = \log_a a^b \). Это часто используется для приведения обеих частей неравенства к одному логарифму.

\( b = \log_a a^b \)

Другие упражнения из параграфа § 20

354 355 356 357 358 359 360 361 362 363 364 365 366 367

Данные параграфа

К параграфу →

Глава: Глава 4
Параграф: § 20 — Логарифмические неравенства
Учебник: Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы
Автор: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год: 2025

Уведомление об авторском праве и цитировании

ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.