ГДЗ: Упражнение 358 - § 20 (Логарифмические неравенства) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

1. Условие. Функция определена, когда аргумент логарифма строго положителен: \( x^2 - 4x + 3 > 0 \).

2. Корни. Найдём корни квадратного трёхчлена: \( x^2 - 4x + 3 = 0 \). По теореме Виета или через дискриминант: \( x_1 = 1 \), \( x_2 = 3 \).

3. Решение неравенства. Парабола \( y = x^2 - 4x + 3 \) направлена ветвями вверх, поэтому выражение положительно вне корней: \( x < 1 \) или \( x > 3 \).

Ответ: \( D(y) = (-\infty; 1) \cup (3; +\infty) \).

1. Условие. Функция определена, когда аргумент логарифма строго положителен и знаменатель не равен нулю: \( \frac{3x + 2}{1 - x} > 0 \) и \( 1 - x \ne 0 \).

• а) Неравенство: Решим методом интервалов. Корни числителя и знаменателя: \( 3x + 2 = 0 \rightarrow x = -\frac{2}{3} \); \( 1 - x = 0 \rightarrow x = 1 \).
• б) Интервалы: Расставим точки \( -\frac{2}{3} \) и \( 1 \) на числовой прямой и определим знак дроби на интервалах. При \( x = 0 \), дробь \( \frac{2}{1} = 2 > 0 \). Знаки: \( (-; -\frac{2}{3}) \rightarrow - \); \( (-\frac{2}{3}; 1) \rightarrow + \); \( (1; +\infty) \rightarrow - \).

2. Решение. Неравенство \( \frac{3x + 2}{1 - x} > 0 \) выполняется на интервале \( -\frac{2}{3} < x < 1 \).

Ответ: \( D(y) = (-\frac{2}{3}; 1) \).

1. Условия. Функция содержит два ограничения:

• а) Корень: Выражение под корнем должно быть неотрицательным: \( \lg x + 2 \ge 0 \).
• б) Логарифм (ОДЗ): Аргумент логарифма должен быть положителен: \( x > 0 \).

2. Решение неравенства с корнем. \( \lg x \ge -2 \). Представим \( -2 \) как \( \lg 10^{-2} = \lg 0.01 \). Неравенство: \( \lg x \ge \lg 0.01 \).

• а) Основание \( a = 10 > 1 \), знак сохраняется: \( x \ge 0.01 \).

3. Учёт всех условий. Объединим \( x > 0 \) и \( x \ge 0.01 \). Пересечение: \( x \ge 0.01 \).

Ответ: \( D(y) = [0.01; +\infty) \).

1. Условия. Функция определена, если:

• а) Корень: Выражение под корнем неотрицательно: \( \lg (x - 1) + \lg (x + 1) \ge 0 \).
• б) Логарифмы (ОДЗ): Аргументы логарифмов положительны: \begin{cases} x - 1 > 0 \ x + 1 > 0 \end{cases} \rightarrow \begin{cases} x > 1 \ x > -1 \end{cases} \rightarrow x > 1 \).

2. Решение неравенства с корнем. Используем свойство суммы логарифмов: \( \lg ((x - 1)(x + 1)) \ge 0 \), т.е. \( \lg (x^2 - 1) \ge 0 \).

• а) Представим \( 0 \) как \( \lg 10^0 = \lg 1 \). Неравенство: \( \lg (x^2 - 1) \ge \lg 1 \).
• б) Основание \( a = 10 > 1 \), знак сохраняется: \( x^2 - 1 \ge 1 \).
• в) \( x^2 \ge 2 \rightarrow |x| \ge \sqrt{2} \rightarrow x \le -\sqrt{2} \) или \( x \ge \sqrt{2} \).

3. Учёт всех условий. Объединим ОДЗ \( x > 1 \) и решение \( x \in (-\infty; -\sqrt{2}] \cup [\sqrt{2}; +\infty) \). Поскольку \( \sqrt{2} \approx 1.414 > 1 \), пересечение: \( x \ge \sqrt{2} \).

Ответ: \( D(y) = [\sqrt{2}; +\infty) \).