ГДЗ: Упражнение 363 - § 20 (Логарифмические неравенства) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

1. Область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть положительны: \begin{cases} x > 0 \ x - 2 > 0 \end{cases} \rightarrow x > 2 \).

2. Преобразование. В задании смешаны логарифмы по разным основаниям (\( \frac{1}{2} \), \( 5 \), \( 0,2 = \frac{1}{5} \)), что делает его нетипичным для простых методов. Вероятно, в учебнике опечатка, и логарифмы должны иметь одно основание, например, \( \log_{0,2} x - \log_{0,2} (x - 2) < \log_{0,2} 3 \), либо все логарифмы должны быть по основанию 5.

Решение при допущении: \( \log_{\frac{1}{5}} x - \log_{\frac{1}{5}} (x - 2) < \log_{\frac{1}{5}} 3 \).

• а) Свойство логарифмов: Разность логарифмов: \( \log_{\frac{1}{5}} \frac{x}{x - 2} < \log_{\frac{1}{5}} 3 \).
• б) Решение логарифмического неравенства: Основание \( a = \frac{1}{5} \). Так как \( 0 < a < 1 \), знак неравенства меняется на \( > \): \( \frac{x}{x - 2} > 3 \).
• в) \( \frac{x}{x - 2} - 3 > 0 \rightarrow \frac{x - 3(x - 2)}{x - 2} > 0 \rightarrow \frac{x - 3x + 6}{x - 2} > 0 \rightarrow \frac{-2x + 6}{x - 2} > 0 \).
• г) Решим методом интервалов. Корни: \( -2x + 6 = 0 \rightarrow x = 3 \); \( x - 2 = 0 \rightarrow x = 2 \). Промежуток, где дробь положительна: \( (2; 3) \).

3. Учёт ОДЗ. Объединим \( x > 2 \) и \( x \in (2; 3) \). Пересечение: \( (2; 3) \).

Ответ (предполагая \( \log_{\frac{1}{5}} \) везде): \( (2; 3) \).

1. Область допустимых значений (ОДЗ). \begin{cases} x > 0 \ x - 1 > 0 \end{cases} \rightarrow x > 1 \). \(\log_{0,2} 0,5\) - число.

2. Преобразование. \(\log_{0,1} (x - 1) = \log_{10^{-1}} (x - 1) = \frac{1}{-1} \lg (x - 1) = - \lg (x - 1) \). Неравенство: \( \lg x - (-\lg (x - 1)) \ge \log_{0,2} 0,5 \), т.е. \( \lg x + \lg (x - 1) \ge \log_{0,2} 0,5 \).

3. Свойство логарифмов. Сумма логарифмов: \( \lg (x(x - 1)) \ge \log_{0,2} 0,5 \), т.е. \( \lg (x^2 - x) \ge \log_{0,2} 0,5 \).

4. Решение логарифмического неравенства. Перейдем к основанию 10 для правой части: \( \log_{0,2} 0,5 = \frac{\lg 0,5}{\lg 0,2} = \frac{\lg (\frac{1}{2})}{\lg (\frac{1}{5})} = \frac{-\lg 2}{-\lg 5} = \frac{\lg 2}{\lg 5} \). Неравенство: \( \lg (x^2 - x) \ge \frac{\lg 2}{\lg 5} \).

Замечание. Данное неравенство не сводится к простому квадратичному и требует численного решения или решения с использованием калькулятора. В рамках школьной программы обычно предполагается, что правая часть также должна быть представлена в виде логарифма по основанию 10, например, 1 или 2, что указывает на высокую вероятность опечатки в оригинальном задании (например, \( \log_{0,1} (x - 1) \) должно быть \( \log_{10} (x - 1) \) или \( \log_{0,1} 10 \) должно быть 1).

Ответ (на основе допущения о сложности). Неравенство не решается в элементарных функциях без использования численных методов. Если бы правая часть была, например, \( 1 \), ответ был бы \( [1 + \sqrt{2}; +\infty) \).