ГДЗ: Упражнение 364 - Параграф § 20 (Логарифмические неравенства) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

364 упражнение:

Решить неравенство (359–367).

1) \( \log_{0,2} x - \log_{0,2} x - 6 < 0 \)

Ответ

1. Область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма: \( x > 0 \).

2. Преобразование. Заменим \( \log_{0,2} x = t \). Неравенство: \( t - t - 6 < 0 \), что упрощается до \( -6 < 0 \).

3. Решение. Неравенство \( -6 < 0 \) истинно для всех \( x \).

4. Учёт ОДЗ. Решение \( x \in \mathbb{R} \) должно быть пересечено с ОДЗ \( x > 0 \). Пересечение: \( x > 0 \).

Ответ: \( (0; +\infty) \). (Вероятно, опечатка: в условии, скорее всего, имелось в виду \( (\log_{0,2} x)^2 - \log_{0,2} x - 6 < 0 \). Если это так, решение другое: \( t^2 - t - 6 < 0 \). Корни \( t_1 = -2 \), \( t_2 = 3 \). \( -2 < \log_{0,2} x < 3 \). \( \log_{0,2} (0.2)^3 < \log_{0,2} x < \log_{0,2} (0.2)^{-2} \). \( \log_{0,2} 0.008 < \log_{0,2} x < \log_{0,2} 25 \). Основание \( 0.2 < 1 \), знаки меняются: \( 25 > x > 0.008 \). Ответ: \( (0.008; 25) \)).

2) \( \log_{0,1} x + \log_{0,1} (x + 3) > 4 \)

Ответ

1. Область допустимых значений (ОДЗ). \begin{cases} x > 0 \ x + 3 > 0 \end{cases} \rightarrow x > 0 \).

2. Свойство логарифмов. Сумма логарифмов: \( \log_{0,1} (x(x + 3)) > 4 \), т.е. \( \log_{0,1} (x^2 + 3x) > 4 \).

3. Приведение к логарифмическому виду. \( 4 = \log_{0,1} (0.1)^4 = \log_{0,1} 0.0001 \). Неравенство: \( \log_{0,1} (x^2 + 3x) > \log_{0,1} 0.0001 \).

4. Решение логарифмического неравенства. Основание \( a = 0.1 \). Так как \( 0 < a < 1 \), знак неравенства меняется на \( < \): \( x^2 + 3x < 0.0001 \).

а) \( x^2 + 3x - 0.0001 < 0 \).
б) Найдём корни: \( D = 3^2 - 4 \cdot (-0.0001) = 9 + 0.0004 = 9.0004 \). \( x = \frac{-3 \pm \sqrt{9.0004}}{2} \). \( \sqrt{9.0004} \approx 3.000067 \). \( x_1 \approx \frac{-3 - 3.000067}{2} \approx -3.0000335 \), \( x_2 \approx \frac{-3 + 3.000067}{2} \approx 0.0000335 \).
в) Неравенство: \( x_1 < x < x_2 \).

5. Учёт ОДЗ. Объединим \( x > 0 \) и \( x_1 < x < x_2 \). Пересечение: \( 0 < x < \frac{-3 + \sqrt{9.0004}}{2} \).

Ответ: \( (0; \frac{-3 + \sqrt{9.0004}}{2}) \). (Приближённо: \( (0; 0.0000335) \)).

Что применять при решении

Область определения логарифмической функции

Логарифмическая функция \( y = \log_a f(x) \) определена только при условии, что её аргумент \( f(x) \) строго положителен, то есть \( f(x) > 0 \). Это условие является обязательным при решении логарифмических уравнений и неравенств.

\( \log_a f(x) \rightarrow f(x) > 0 \)

Свойство логарифмической функции (основание a > 1)

Если основание логарифма \( a > 1 \), то логарифмическая функция \( y = \log_a x \) является возрастающей. Это означает, что при отбрасывании знака логарифма знак неравенства сохраняется.

Если \( \log_a f(x) > \log_a g(x) \) и \( a > 1 \), то \( f(x) > g(x) \), при условии \( f(x) > 0 \) и \( g(x) > 0 \).

Свойство логарифмической функции (основание 0 < a < 1)

Если основание логарифма \( 0 < a < 1 \), то логарифмическая функция \( y = \log_a x \) является убывающей. Это означает, что при отбрасывании знака логарифма знак неравенства меняется на противоположный.

Если \( \log_a f(x) > \log_a g(x) \) и \( 0 < a < 1 \), то \( f(x) < g(x) \), при условии \( f(x) > 0 \) и \( g(x) > 0 \).

Свойство логарифмов: сумма логарифмов

Сумма логарифмов с одинаковым основанием равна логарифму произведения их аргументов. Применяется для преобразования левой части неравенства к одному логарифму.

\( \log_a x + \log_a y = \log_a (xy) \), при условии \( x > 0 \) и \( y > 0 \).

Свойство логарифмов: частное логарифмов

Разность логарифмов с одинаковым основанием равна логарифму частного их аргументов.

\( \log_a x - \log_a y = \log_a (\frac{x}{y}) \), при условии \( x > 0 \) и \( y > 0 \).

Замена числа логарифмом

Любое число \( b \) может быть представлено в виде логарифма с основанием \( a \): \( b = \log_a a^b \). Это часто используется для приведения обеих частей неравенства к одному логарифму.

\( b = \log_a a^b \)

Другие упражнения из параграфа § 20

354 355 356 357 358 359 360 361 362 363 364 365 366 367

Данные параграфа

К параграфу →

Глава: Глава 4
Параграф: § 20 — Логарифмические неравенства
Учебник: Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы
Автор: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год: 2025

Уведомление об авторском праве и цитировании

ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.