ГДЗ: Упражнение 365 - § 20 (Логарифмические неравенства) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

1. Область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма: \( x > 0 \). Знаменатели не равны нулю: \( 5 - \lg x \ne 0 \rightarrow \lg x \ne 5 \rightarrow x \ne 10^5 \); \( 1 + \lg x \ne 0 \rightarrow \lg x \ne -1 \rightarrow x \ne 0.1 \).

2. Замена. Пусть \( t = \lg x \). Неравенство: \( \frac{1}{5 - t} + \frac{1}{1 + t} < 2 \).

• а) \( \frac{1 + t + 5 - t}{(5 - t)(1 + t)} < 2 \rightarrow \frac{6}{5 + 5t - t - t^2} < 2 \rightarrow \frac{6}{-t^2 + 4t + 5} < 2 \).
• б) \( \frac{6}{-t^2 + 4t + 5} - 2 < 0 \rightarrow \frac{6 - 2(-t^2 + 4t + 5)}{-t^2 + 4t + 5} < 0 \rightarrow \frac{2t^2 - 8t - 4}{-t^2 + 4t + 5} < 0 \).
• в) Разделим числитель на 2: \( \frac{t^2 - 4t - 2}{-t^2 + 4t + 5} < 0 \), что эквивалентно \( \frac{t^2 - 4t - 2}{t^2 - 4t - 5} > 0 \).

3. Критические точки.

• а) Числитель: \( t^2 - 4t - 2 = 0 \). \( D = 16 - 4(-2) = 24 \). \( t_{1,2} = \frac{4 \pm \sqrt{24}}{2} = 2 \pm \sqrt{6} \).
• б) Знаменатель: \( t^2 - 4t - 5 = 0 \). \( t_{3,4} = -1 \), \( t_{4} = 5 \).

4. Решение методом интервалов. Критические точки: \( -1 \), \( 2 - \sqrt{6} \approx -0.45 \), \( 2 + \sqrt{6} \approx 4.45 \), \( 5 \). Неравенство \( \frac{t^2 - 4t - 2}{t^2 - 4t - 5} > 0 \) выполняется на интервалах, где знаки числителя и знаменателя совпадают: \( (-\infty; -1) \cup (2 - \sqrt{6}; 2 + \sqrt{6}) \cup (5; +\infty) \).

5. Обратная замена. \( t = \lg x \). \( \lg x < -1 \rightarrow x < 10^{-1} = 0.1 \). \( 2 - \sqrt{6} < \lg x < 2 + \sqrt{6} \rightarrow 10^{2 - \sqrt{6}} < x < 10^{2 + \sqrt{6}} \). \( \lg x > 5 \rightarrow x > 10^5 \).

6. Учёт ОДЗ. \( x > 0 \). Окончательное решение: \( (0; 0.1) \cup (10^{2 - \sqrt{6}}; 10^{2 + \sqrt{6}}) \cup (10^5; +\infty) \).

Ответ: \( (0; 0,1) \cup (10^{2 - \sqrt{6}}; 10^{2 + \sqrt{6}}) \cup (10^5; +\infty) \).

1. Область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма: \( 2 - 3^x > 0 \rightarrow 3^x < 2 \rightarrow x < \log_3 2 \). (Так как \( \log_3 2 \approx 0.63 \)).

2. Преобразование. Перенесём логарифмы влево, а \( x \) вправо: \( \log_3 (2 - 3^x) + \log_3 4 < x + 1 \). Используем свойство суммы логарифмов: \( \log_3 (4(2 - 3^x)) < x + 1 \).

3. Уберём логарифм. \( 4(2 - 3^x) < 3^{x + 1} \).

• а) \( 8 - 4 \cdot 3^x < 3^x \cdot 3^1 \).
• б) \( 8 < 3 \cdot 3^x + 4 \cdot 3^x \rightarrow 8 < 7 \cdot 3^x \).
• в) \( 3^x > \frac{8}{7} \).
• г) Логарифмируем по основанию 3: \( x > \log_3 \frac{8}{7} \). (Так как \( \log_3 \frac{8}{7} \approx 0.11 \)).

4. Учёт ОДЗ. Объединим \( x < \log_3 2 \) и \( x > \log_3 \frac{8}{7} \). Так как \( \log_3 \frac{8}{7} < \log_3 2 \), пересечение: \( \log_3 \frac{8}{7} < x < \log_3 2 \).

Ответ: \( (\log_3 \frac{8}{7}; \log_3 2) \).

1. Область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма: \( 4x + 7 > 0 \rightarrow x > -\frac{7}{4} = -1.75 \).

2. Решение. Показательная функция \( a^y \), где \( a = 3 > 0 \), всегда положительна для любых действительных \( y = \lg (4x + 7) \). Следовательно, неравенство \( 3^{\lg (4x + 7)} > 0 \) истинно для всех \( x \) из области определения функции.

3. Окончательный ответ. Решением является ОДЗ.

Ответ: \( (-\frac{7}{4}; +\infty) \).

1. Область допустимых значений (ОДЗ) и основание.

• а) Аргумент: \( x + 7 > 0 \rightarrow x > -7 \).
• б) Основание: \( a = x^2 - 2x - 3 > 0 \). Корни \( x^2 - 2x - 3 = 0 \): \( x_1 = -1 \), \( x_2 = 3 \). \( x \in (-\infty; -1) \cup (3; +\infty) \).
• в) Основание \( a \ne 1 \): \( x^2 - 2x - 3 \ne 1 \rightarrow x^2 - 2x - 4 \ne 0 \). Корни: \( x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4(-4)}}{2} = 1 \pm \sqrt{5} \). \( x \ne 1 - \sqrt{5} \approx -1.23 \), \( x \ne 1 + \sqrt{5} \approx 3.23 \).

г) Общая ОДЗ: Пересечение \( x > -7 \) с \( ((-\infty; -1) \cup (3; +\infty)) \setminus \{1 - \sqrt{5}, 1 + \sqrt{5}\}: \) \( (-7; -1) \cup (3; +\infty) \), исключая \( 1 - \sqrt{5} \) и \( 1 + \sqrt{5} \).

2. Решение логарифмического неравенства. Неравенство \( \log_a b > 0 \) эквивалентно \((a - 1)(b - 1) > 0 \). Здесь \( a = x^2 - 2x - 3 \), \( b = x + 7 \).

• а) \( (x^2 - 2x - 3 - 1)(x + 7 - 1) > 0 \rightarrow (x^2 - 2x - 4)(x + 6) > 0 \).
• б) Критические точки: \( x^2 - 2x - 4 = 0 \rightarrow x_1 = 1 - \sqrt{5} \approx -1.23 \), \( x_2 = 1 + \sqrt{5} \approx 3.23 \). И \( x + 6 = 0 \rightarrow x_3 = -6 \).
• в) Метод интервалов на точках \( -6, 1 - \sqrt{5}, 1 + \sqrt{5} \): \( (-6; 1 - \sqrt{5}) \cup (1 + \sqrt{5}; +\infty) \).

3. Учёт ОДЗ. Пересечение: \( (-7; -1) \cup (3; +\infty) \) и \( (-6; 1 - \sqrt{5}) \cup (1 + \sqrt{5}; +\infty) \).

• а) Пересечение с \( (-7; -1) \): \( (-6; 1 - \sqrt{5}) \).
• б) Пересечение с \( (3; +\infty) \): \( (1 + \sqrt{5}; +\infty) \).

Ответ: \( (-6; 1 - \sqrt{5}) \cup (1 + \sqrt{5}; +\infty) \).