ГДЗ: Упражнение 359 - § 20 (Логарифмические неравенства) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

1. Область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть положителен: \( \frac{3x - 2}{x^2 + 1} > 0 \). Так как \( x^2 + 1 \) всегда положителен, это сводится к \( 3x - 2 > 0 \rightarrow x > \frac{2}{3} \).

2. Приведение к логарифмическому виду. Представим \( 0 \) как \( \log_{\frac{1}{5}} 1 \). Неравенство: \( \log_{\frac{1}{5}} \frac{3x - 2}{x^2 + 1} > \log_{\frac{1}{5}} 1 \).

3. Решение логарифмического неравенства. Основание \( a = \frac{1}{5} \). Так как \( 0 < a < 1 \), функция убывающая, и знак неравенства меняется на \( < \): \( \frac{3x - 2}{x^2 + 1} < 1 \).

• а) \( \frac{3x - 2}{x^2 + 1} - 1 < 0 \rightarrow \frac{3x - 2 - (x^2 + 1)}{x^2 + 1} < 0 \rightarrow \frac{-x^2 + 3x - 3}{x^2 + 1} < 0 \).
• б) Поскольку \( x^2 + 1 > 0 \), знак дроби определяется знаком числителя: \( -x^2 + 3x - 3 < 0 \), или \( x^2 - 3x + 3 > 0 \).
• в) Найдём дискриминант числителя: \( D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 9 - 12 = -3 \). Поскольку \( D < 0 \) и коэффициент при \( x^2 \) положителен (равен 1), квадратный трёхчлен \( x^2 - 3x + 3 \) положителен для всех \( x \in \mathbb{R} \).

4. Учёт ОДЗ. Решение \( x \in \mathbb{R} \) должно быть пересечено с ОДЗ \( x > \frac{2}{3} \). Пересечение: \( x > \frac{2}{3} \).

Ответ: \( (\frac{2}{3}; +\infty) \).

1. Область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть положителен: \( \frac{2x^2 + 3}{x - 7} > 0 \). Так как \( 2x^2 + 3 \) всегда положителен, это сводится к \( x - 7 > 0 \rightarrow x > 7 \).

2. Приведение к логарифмическому виду. Представим \( 0 \) как \( \log_{\frac{1}{2}} 1 \). Неравенство: \( \log_{\frac{1}{2}} \frac{2x^2 + 3}{x - 7} < \log_{\frac{1}{2}} 1 \).

3. Решение логарифмического неравенства. Основание \( a = \frac{1}{2} \). Так как \( 0 < a < 1 \), знак неравенства меняется на \( > \): \( \frac{2x^2 + 3}{x - 7} > 1 \).

• а) \( \frac{2x^2 + 3}{x - 7} - 1 > 0 \rightarrow \frac{2x^2 + 3 - (x - 7)}{x - 7} > 0 \rightarrow \frac{2x^2 - x + 10}{x - 7} > 0 \).
• б) Числитель \( 2x^2 - x + 10 \). Дискриминант: \( D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 10 = 1 - 80 = -79 \). Так как \( D < 0 \) и коэффициент при \( x^2 \) положителен (равен 2), числитель всегда положителен для всех \( x \in \mathbb{R} \).
• в) Знак дроби определяется знаком знаменателя: \( x - 7 > 0 \rightarrow x > 7 \).

4. Учёт ОДЗ. Решение \( x > 7 \) полностью совпадает с ОДЗ \( x > 7 \).

Ответ: \( (7; +\infty) \).

1. Область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть положительны: \begin{cases} 3x - 4 > 0 \ 2x + 1 > 0 \end{cases} \rightarrow \begin{cases} x > 4/3 \ x > -1/2 \end{cases} \rightarrow x > 4/3 \).

2. Решение логарифмического неравенства. Основание \( a = 10 > 1 \), знак неравенства сохраняется: \( 3x - 4 < 2x + 1 \).

• а) \( 3x - 2x < 1 + 4 \rightarrow x < 5 \).

3. Учёт ОДЗ. Объединим \( x > 4/3 \) и \( x < 5 \): \( 4/3 < x < 5 \).

Ответ: \( (\frac{4}{3}; 5) \).

1. Область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть положительны: \begin{cases} 2x + 3 > 0 \ x + 1 > 0 \end{cases} \rightarrow \begin{cases} x > -3/2 \ x > -1 \end{cases} \rightarrow x > -1 \).

2. Решение логарифмического неравенства. Основание \( a = 2 > 1 \), знак неравенства сохраняется: \( 2x + 3 > x + 1 \).

• а) \( 2x - x > 1 - 3 \rightarrow x > -2 \).

3. Учёт ОДЗ. Объединим \( x > -1 \) и \( x > -2 \). Пересечение: \( x > -1 \).

Ответ: \( (-1; +\infty) \).