ГДЗ: Упражнение 524 - § 31 (Формулы приведения) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Цель: Найти острый угол \( \alpha \) в равенстве \( \cos 75^{\circ} = \sin (90^{\circ} - \alpha) \).

• Правая часть: \( \sin (90^{\circ} - \alpha) \).
• Угол \( 90^{\circ} - \alpha \) находится в первой четверти (т.к. \( \alpha \) – острый). Синус в первой четверти положителен.
• Угол содержит \( 90^{\circ} \) (\( \frac{\pi}{2} \)), поэтому функция меняется на кофункцию (синус на косинус).
• Формула приведения: \( \sin (90^{\circ} - \alpha) = +\cos \alpha \).

• Подставляем результат в исходное уравнение: \( \cos 75^{\circ} = \cos \alpha \).
• Так как косинусы равны и \( \alpha \) является острым углом, то \( \alpha \) должно быть равно \( 75^{\circ} \).

\( \alpha = 75^{\circ} \)

Цель: Найти острый угол \( \alpha \) в равенстве \( \sin 150^{\circ} = \sin (90^{\circ} + \alpha) \).

• Правая часть: \( \sin (90^{\circ} + \alpha) \).
• Угол \( 90^{\circ} + \alpha \) находится во второй четверти (т.к. \( \alpha \) – острый). Синус во второй четверти положителен.
• Угол содержит \( 90^{\circ} \) (\( \frac{\pi}{2} \)), поэтому функция меняется на кофункцию (синус на косинус).
• Формула приведения: \( \sin (90^{\circ} + \alpha) = +\cos \alpha \).

• Левая часть: \( \sin 150^{\circ} = \sin (180^{\circ} - 30^{\circ}) \).
• Угол \( 180^{\circ} - 30^{\circ} \) находится во второй четверти. Синус положителен.
• Угол содержит \( 180^{\circ} \) (\( \pi \)), поэтому функция не меняется.
• \( \sin 150^{\circ} = \sin 30^{\circ} \).

• Приравниваем результаты: \( \sin 30^{\circ} = \cos \alpha \).
• Применяем формулу приведения к \( \sin 30^{\circ} \): \( \sin 30^{\circ} = \cos (90^{\circ} - 30^{\circ}) = \cos 60^{\circ} \).
• Уравнение принимает вид: \( \cos 60^{\circ} = \cos \alpha \).
• Так как \( \alpha \) – острый угол, то \( \alpha = 60^{\circ} \).

\( \alpha = 60^{\circ} \)

Цель: Найти острый угол \( \alpha \) в равенстве \( \sin 150^{\circ} = \sin (180^{\circ} - \alpha) \).

• Правая часть: \( \sin (180^{\circ} - \alpha) \).
• Угол \( 180^{\circ} - \alpha \) находится во второй четверти. Синус положителен.
• Угол содержит \( 180^{\circ} \) (\( \pi \)), функция не меняется.
• Формула приведения: \( \sin (180^{\circ} - \alpha) = +\sin \alpha \).

• Левая часть: \( \sin 150^{\circ} \).
• Уравнение принимает вид: \( \sin 150^{\circ} = \sin \alpha \).
• Разложим \( 150^{\circ} \): \( \sin 150^{\circ} = \sin (180^{\circ} - 30^{\circ}) = \sin 30^{\circ} \).
• Уравнение: \( \sin 30^{\circ} = \sin \alpha \).
• Так как \( \alpha \) – острый угол, то \( \alpha = 30^{\circ} \).

\( \alpha = 30^{\circ} \)

Цель: Найти острый угол \( \alpha \) в равенстве \( \cos 310^{\circ} = \cos (270^{\circ} + \alpha) \).

• Правая часть: \( \cos (270^{\circ} + \alpha) \).
• Угол \( 270^{\circ} + \alpha \) находится в четвертой четверти. Косинус в четвертой четверти положителен.
• Угол содержит \( 270^{\circ} \) (\( \frac{3\pi}{2} \)), функция меняется на синус.
• Формула приведения: \( \cos (270^{\circ} + \alpha) = +\sin \alpha \).

• Левая часть: \( \cos 310^{\circ} \).
• Разложим \( 310^{\circ} \): \( \cos 310^{\circ} = \cos (360^{\circ} - 50^{\circ}) \).
• Угол \( 360^{\circ} - 50^{\circ} \) находится в четвертой четверти. Косинус положителен.
• Угол содержит \( 360^{\circ} \) (\( 2\pi \)), функция не меняется.
• \( \cos 310^{\circ} = \cos 50^{\circ} \).

• Приравниваем результаты: \( \cos 50^{\circ} = \sin \alpha \).
• Применяем формулу приведения к \( \cos 50^{\circ} \): \( \cos 50^{\circ} = \sin (90^{\circ} - 50^{\circ}) = \sin 40^{\circ} \).
• Уравнение принимает вид: \( \sin 40^{\circ} = \sin \alpha \).
• Так как \( \alpha \) – острый угол, то \( \alpha = 40^{\circ} \).

\( \alpha = 40^{\circ} \)

Цель: Найти острый угол \( \alpha \) в равенстве \( \sin \frac{5\pi}{4} = \sin (\pi + \alpha) \).

• Правая часть: \( \sin (\pi + \alpha) \).
• Угол \( \pi + \alpha \) находится в третьей четверти. Синус в третьей четверти отрицателен.
• Угол содержит \( \pi \), функция не меняется.
• Формула приведения: \( \sin (\pi + \alpha) = -\sin \alpha \).

• Левая часть: \( \sin \frac{5\pi}{4} \).
• Разложим: \( \sin \frac{5\pi}{4} = \sin (\pi + \frac{\pi}{4}) \).
• Угол \( \pi + \frac{\pi}{4} \) находится в третьей четверти. Синус отрицателен.
• Угол содержит \( \pi \), функция не меняется.
• \( \sin \frac{5\pi}{4} = -\sin \frac{\pi}{4} \).

• Приравниваем результаты: \( -\sin \frac{\pi}{4} = -\sin \alpha \).
• Умножаем на -1: \( \sin \frac{\pi}{4} = \sin \alpha \).
• Так как \( \alpha \) – острый угол, то \( \alpha = \frac{\pi}{4} \).

\( \alpha = \frac{\pi}{4} \)

Цель: Найти острый угол \( \alpha \) в равенстве \( \tg \frac{2\pi}{3} = \tg (\pi - \alpha) \).

• Правая часть: \( \tg (\pi - \alpha) \).
• Угол \( \pi - \alpha \) находится во второй четверти. Тангенс во второй четверти отрицателен.
• Угол содержит \( \pi \), функция не меняется.
• Формула приведения: \( \tg (\pi - \alpha) = -\tg \alpha \).

• Левая часть: \( \tg \frac{2\pi}{3} \).
• Разложим: \( \tg \frac{2\pi}{3} = \tg (\pi - \frac{\pi}{3}) \).
• Угол \( \pi - \frac{\pi}{3} \) находится во второй четверти. Тангенс отрицателен.
• Угол содержит \( \pi \), функция не меняется.
• \( \tg \frac{2\pi}{3} = -\tg \frac{\pi}{3} \).

• Приравниваем результаты: \( -\tg \frac{\pi}{3} = -\tg \alpha \).
• Умножаем на -1: \( \tg \frac{\pi}{3} = \tg \alpha \).
• Так как \( \alpha \) – острый угол, то \( \alpha = \frac{\pi}{3} \).

\( \alpha = \frac{\pi}{3} \)

Цель: Найти острый угол \( \alpha \) в равенстве \( \cos \frac{7\pi}{4} = \cos (\frac{3\pi}{2} + \alpha) \).

• Правая часть: \( \cos (\frac{3\pi}{2} + \alpha) \).
• Угол \( \frac{3\pi}{2} + \alpha \) находится в четвертой четверти. Косинус в четвертой четверти положителен.
• Угол содержит \( \frac{3\pi}{2} \), функция меняется на синус.
• Формула приведения: \( \cos (\frac{3\pi}{2} + \alpha) = +\sin \alpha \).

• Левая часть: \( \cos \frac{7\pi}{4} \).
• Разложим: \( \cos \frac{7\pi}{4} = \cos (2\pi - \frac{\pi}{4}) \).
• Угол \( 2\pi - \frac{\pi}{4} \) находится в четвертой четверти. Косинус положителен.
• Угол содержит \( 2\pi \), функция не меняется.
• \( \cos \frac{7\pi}{4} = \cos \frac{\pi}{4} \).

• Приравниваем результаты: \( \cos \frac{\pi}{4} = \sin \alpha \).
• Применяем формулу приведения к \( \cos \frac{\pi}{4} \): \( \cos \frac{\pi}{4} = \sin (\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4}) = \sin \frac{\pi}{4} \).
• Уравнение: \( \sin \frac{\pi}{4} = \sin \alpha \).
• Так как \( \alpha \) – острый угол, то \( \alpha = \frac{\pi}{4} \).

\( \alpha = \frac{\pi}{4} \)

Цель: Найти острый угол \( \alpha \) в равенстве \( \ctg \frac{11\pi}{6} = \ctg (2\pi - \alpha) \).

• Правая часть: \( \ctg (2\pi - \alpha) \).
• Угол \( 2\pi - \alpha \) находится в четвертой четверти. Котангенс в четвертой четверти отрицателен.
• Угол содержит \( 2\pi \), функция не меняется.
• Формула приведения: \( \ctg (2\pi - \alpha) = -\ctg \alpha \).

• Левая часть: \( \ctg \frac{11\pi}{6} \).
• Разложим: \( \ctg \frac{11\pi}{6} = \ctg (2\pi - \frac{\pi}{6}) \).
• Угол \( 2\pi - \frac{\pi}{6} \) находится в четвертой четверти. Котангенс отрицателен.
• Угол содержит \( 2\pi \), функция не меняется.
• \( \ctg \frac{11\pi}{6} = -\ctg \frac{\pi}{6} \).

• Приравниваем результаты: \( -\ctg \frac{\pi}{6} = -\ctg \alpha \).
• Умножаем на -1: \( \ctg \frac{\pi}{6} = \ctg \alpha \).
• Так как \( \alpha \) – острый угол, то \( \alpha = \frac{\pi}{6} \).

\( \alpha = \frac{\pi}{6} \)