ГДЗ: Упражнение 525 - Параграф § 31 (Формулы приведения) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

525 упражнение:

Вычислить с помощью формулы приведения (525–526).

1) \( \cos 150^{\circ} \)

Ответ

Цель: Вычислить \( \cos 150^{\circ} \) с помощью формул приведения.

Шаг 1. Представление угла через \( 180^{\circ} \) или \( 90^{\circ} \).

Представим \( 150^{\circ} \) как \( 180^{\circ} - 30^{\circ} \): \( \cos 150^{\circ} = \cos (180^{\circ} - 30^{\circ}) \).

Шаг 2. Применение формулы приведения.

Угол \( 180^{\circ} - 30^{\circ} \) находится во второй четверти. Косинус во второй четверти отрицателен, поэтому ставим знак «-».
Угол содержит \( 180^{\circ} \), функция не меняется.
Формула приведения: \( \cos (180^{\circ} - 30^{\circ}) = -\cos 30^{\circ} \).

Шаг 3. Вычисление.

Используем табличное значение \( \cos 30^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2} \).
\( \cos 150^{\circ} = -\frac{\sqrt{3}}{2} \).

Ответ: \( -\frac{\sqrt{3}}{2} \)

2) \( \sin 135^{\circ} \)

Ответ

Цель: Вычислить \( \sin 135^{\circ} \) с помощью формул приведения.

Шаг 1. Представление угла через \( 180^{\circ} \).

Представим \( 135^{\circ} \) как \( 180^{\circ} - 45^{\circ} \): \( \sin 135^{\circ} = \sin (180^{\circ} - 45^{\circ}) \).

Шаг 2. Применение формулы приведения.

Угол \( 180^{\circ} - 45^{\circ} \) находится во второй четверти. Синус во второй четверти положителен, поэтому ставим знак «+».
Угол содержит \( 180^{\circ} \), функция не меняется.
Формула приведения: \( \sin (180^{\circ} - 45^{\circ}) = +\sin 45^{\circ} \).

Шаг 3. Вычисление.

Используем табличное значение \( \sin 45^{\circ} = \frac{\sqrt{2}}{2} \).
\( \sin 135^{\circ} = \frac{\sqrt{2}}{2} \).

Ответ: \( \frac{\sqrt{2}}{2} \)

3) \( \ctg 135^{\circ} \)

Ответ

Цель: Вычислить \( \ctg 135^{\circ} \) с помощью формул приведения.

Шаг 1. Представление угла через \( 180^{\circ} \).

Представим \( 135^{\circ} \) как \( 180^{\circ} - 45^{\circ} \): \( \ctg 135^{\circ} = \ctg (180^{\circ} - 45^{\circ}) \).

Шаг 2. Применение формулы приведения.

Угол \( 180^{\circ} - 45^{\circ} \) находится во второй четверти. Котангенс во второй четверти отрицателен, поэтому ставим знак «-».
Угол содержит \( 180^{\circ} \), функция не меняется.
Формула приведения: \( \ctg (180^{\circ} - 45^{\circ}) = -\ctg 45^{\circ} \).

Шаг 3. Вычисление.

Используем табличное значение \( \ctg 45^{\circ} = 1 \).
\( \ctg 135^{\circ} = -1 \).

Ответ: \( -1 \)

4) \( \cos 120^{\circ} \)

Ответ

Цель: Вычислить \( \cos 120^{\circ} \) с помощью формул приведения.

Шаг 1. Представление угла через \( 180^{\circ} \).

Представим \( 120^{\circ} \) как \( 180^{\circ} - 60^{\circ} \): \( \cos 120^{\circ} = \cos (180^{\circ} - 60^{\circ}) \).

Шаг 2. Применение формулы приведения.

Угол \( 180^{\circ} - 60^{\circ} \) находится во второй четверти. Косинус во второй четверти отрицателен, поэтому ставим знак «-».
Угол содержит \( 180^{\circ} \), функция не меняется.
Формула приведения: \( \cos (180^{\circ} - 60^{\circ}) = -\cos 60^{\circ} \).

Шаг 3. Вычисление.

Используем табличное значение \( \cos 60^{\circ} = \frac{1}{2} \).
\( \cos 120^{\circ} = -\frac{1}{2} \).

Ответ: \( -\frac{1}{2} \)

Что применять при решении

Правило знака

Знак правой части формулы приведения соответствует знаку функции, стоящей в левой части, в той четверти, где находится аргумент левой части, при условии, что \( 0 < \alpha < \frac{\pi}{2} \).

Например: \( \sin (\pi - \alpha) = \sin \alpha \) (вторая четверть, синус положительный).

Правило изменения функции

Если угол в формуле приведения имеет вид \( \frac{\pi}{2} \pm \alpha \) или \( \frac{3\pi}{2} \pm \alpha \), функция меняется на кофункцию (синус на косинус, тангенс на котангенс). Если угол имеет вид \( \pi \pm \alpha \) или \( 2\pi \pm \alpha \), функция не меняется.

Например: \( \cos (\frac{\pi}{2} + \alpha) = -\sin \alpha \) (косинус меняется на синус). \( \tan (\pi + \alpha) = \tan \alpha \) (тангенс не меняется).

Периодичность и четность/нечетность

Тригонометрические функции периодичны: \( \sin (\alpha + 2\pi k) = \sin \alpha \), \( \cos (\alpha + 2\pi k) = \cos \alpha \). Функции синус, тангенс, котангенс — нечетные (\( f(-\alpha) = -f(\alpha) \)), косинус — четная (\( f(-\alpha) = f(\alpha) \)).

\( \cos (-\alpha) = \cos \alpha \); \( \sin (\alpha - 2\pi) = \sin \alpha \).

Другие упражнения из параграфа § 31

524 525 526 527 528 529 530 531 532 533 534 535 536

Данные параграфа

К параграфу →

Глава: Глава 5
Параграф: § 31 — Формулы приведения
Учебник: Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы
Автор: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год: 2025

Уведомление об авторском праве и цитировании

ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.