А вы знали?
Проект, реферат или доклад можно создать с помощью ИИ за 5 минут — и сразу скачать готовый файл Word.
Попробовать
531 упражнение:
Вычислить:
1)
\( \frac{\cos \frac{23\pi}{4} - \sin \frac{15\pi}{4}}{\ctg \frac{15\pi}{4} - \ctg \frac{11\pi}{2}} \)
Ответ
Цель: Вычислить значение выражения.
Шаг 1. Применяем периодичность и формулы приведения. \( \cos \frac{23\pi}{4} \): Период \( 2\pi \). \( \frac{23\pi}{4} = 5\pi + \frac{3\pi}{4} = 4\pi + \pi + \frac{3\pi}{4} \). Отбрасываем \( 4\pi \): \( \cos \frac{23\pi}{4} = \cos (\pi + \frac{3\pi}{4}) \). \( \sin \frac{15\pi}{4} \): Период \( 2\pi \). \( \frac{15\pi}{4} = 4\pi - \frac{\pi}{4} \). Отбрасываем \( 4\pi \): \( \sin \frac{15\pi}{4} = \sin (-\frac{\pi}{4}) \). \( \ctg \frac{15\pi}{4} \): Период \( \pi \). \( \frac{15\pi}{4} = 4\pi - \frac{\pi}{4} \). Отбрасываем \( 4\pi \): \( \ctg \frac{15\pi}{4} = \ctg (-\frac{\pi}{4}) \). \( \ctg \frac{11\pi}{2} \): \( \frac{11\pi}{2} = 5\pi + \frac{\pi}{2} = 4\pi + \pi + \frac{\pi}{2} \). Отбрасываем \( 4\pi \): \( \ctg \frac{11\pi}{2} = \ctg (\pi + \frac{\pi}{2}) \). Шаг 2. Подставляем значения в выражение. \[ \frac{\frac{\sqrt{2}}{2} - (-\frac{\sqrt{2}}{2})}{-1 - 0} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}{-1} = \frac{\sqrt{2}}{-1} = -\sqrt{2} \]
Ответ: \( -\sqrt{2} \)
2)
\( 2\sin \frac{25\pi}{6} - \cos (-\frac{17\pi}{3}) - \tg (-\frac{10\pi}{3}) \)
Ответ
Цель: Вычислить значение выражения.
Шаг 1. Вычисляем \( 2\sin \frac{25\pi}{6} \). Период \( 2\pi \). \( \frac{25\pi}{6} = 4\pi + \frac{\pi}{6} \). \( 2\sin \frac{25\pi}{6} = 2\sin (4\pi + \frac{\pi}{6}) = 2\sin \frac{\pi}{6} \). Табличное значение: \( 2 \cdot \frac{1}{2} = 1 \). Шаг 2. Вычисляем \( -\cos (-\frac{17\pi}{3}) \). Четность косинуса: \( -\cos (-\frac{17\pi}{3}) = -\cos \frac{17\pi}{3} \). Период \( 2\pi \). \( \frac{17\pi}{3} = 6\pi - \frac{\pi}{3} \). \( -\cos \frac{17\pi}{3} = -\cos (6\pi - \frac{\pi}{3}) = -\cos (-\frac{\pi}{3}) \). Снова четность косинуса: \( -\cos \frac{\pi}{3} \). Табличное значение: \( -\frac{1}{2} \). Шаг 3. Вычисляем \( -\tg (-\frac{10\pi}{3}) \). Нечетность тангенса: \( -\tg (-\frac{10\pi}{3}) = -(-\tg \frac{10\pi}{3}) = \tg \frac{10\pi}{3} \). Период \( \pi \). \( \frac{10\pi}{3} = 3\pi + \frac{\pi}{3} \). \( \tg \frac{10\pi}{3} = \tg (3\pi + \frac{\pi}{3}) \). Периодичность \( \pi \): \( \tg (3\pi + \frac{\pi}{3}) = \tg \frac{\pi}{3} \). Табличное значение: \( \sqrt{3} \). Шаг 4. Находим значение выражения. Подставляем найденные значения:
\[ 1 - \frac{1}{2} + \sqrt{3} = \frac{1}{2} + \sqrt{3} \]
Ответ: \( \frac{1}{2} + \sqrt{3} \)
3)
\( \sin (-7\pi) - 2\cos \frac{31\pi}{3} - \tg \frac{7\pi}{4} \)
Ответ
Цель: Вычислить значение выражения.
Шаг 1. Вычисляем \( \sin (-7\pi) \). Нечетность синуса: \( \sin (-7\pi) = -\sin 7\pi \). Период \( 2\pi \). \( 7\pi = 6\pi + \pi \). \( -\sin 7\pi = -\sin (6\pi + \pi) = -\sin \pi \). Табличное значение: \( -0 = 0 \). Шаг 2. Вычисляем \( -2\cos \frac{31\pi}{3} \). Период \( 2\pi \). \( \frac{31\pi}{3} = 10\pi + \frac{\pi}{3} \). \( -2\cos \frac{31\pi}{3} = -2\cos (10\pi + \frac{\pi}{3}) = -2\cos \frac{\pi}{3} \). Табличное значение: \( -2 \cdot \frac{1}{2} = -1 \). Шаг 3. Вычисляем \( -\tg \frac{7\pi}{4} \). Период \( \pi \). \( \frac{7\pi}{4} = 2\pi - \frac{\pi}{4} \). \( -\tg \frac{7\pi}{4} = -\tg (2\pi - \frac{\pi}{4}) \). Формула приведения (\( 2\pi - \alpha \) в IV четверти, \( \tg \) отрицателен): \( -\tg (-\frac{\pi}{4}) \). Нечетность: \( -(-\tg \frac{\pi}{4}) = \tg \frac{\pi}{4} \). Табличное значение: \( 1 \). Шаг 4. Находим значение выражения. Подставляем найденные значения:
\[ 0 + (-1) + 1 = 0 \]
Ответ: \( 0 \)
4)
\( \cos (-9\pi) + 2\sin (-\frac{49\pi}{6}) - \ctg (-\frac{21\pi}{4}) \)
Ответ
Цель: Вычислить значение выражения.
Шаг 1. Вычисляем \( \cos (-9\pi) \). Четность косинуса: \( \cos (-9\pi) = \cos 9\pi \). Период \( 2\pi \). \( 9\pi = 8\pi + \pi \). \( \cos 9\pi = \cos (8\pi + \pi) = \cos \pi \). Табличное значение: \( -1 \). Шаг 2. Вычисляем \( 2\sin (-\frac{49\pi}{6}) \). Нечетность синуса: \( 2\sin (-\frac{49\pi}{6}) = -2\sin \frac{49\pi}{6} \). Период \( 2\pi \). \( \frac{49\pi}{6} = 8\pi + \frac{\pi}{6} \). \( -2\sin \frac{49\pi}{6} = -2\sin (8\pi + \frac{\pi}{6}) = -2\sin \frac{\pi}{6} \). Табличное значение: \( -2 \cdot \frac{1}{2} = -1 \). Шаг 3. Вычисляем \( -\ctg (-\frac{21\pi}{4}) \). Нечетность котангенса: \( -\ctg (-\frac{21\pi}{4}) = -(-\ctg \frac{21\pi}{4}) = \ctg \frac{21\pi}{4} \). Период \( \pi \). \( \frac{21\pi}{4} = 5\pi + \frac{\pi}{4} \). \( \ctg \frac{21\pi}{4} = \ctg (5\pi + \frac{\pi}{4}) \). Периодичность \( \pi \): \( \ctg (5\pi + \frac{\pi}{4}) = \ctg \frac{\pi}{4} \). Табличное значение: \( 1 \). Шаг 4. Находим значение выражения. Подставляем найденные значения:
\[ -1 + (-1) - 1 = -3 \]
Ответ: \( -3 \)
Что применять при решении
Правило знака
Знак правой части формулы приведения соответствует знаку функции, стоящей в левой части, в той четверти, где находится аргумент левой части, при условии, что \( 0 < \alpha < \frac{\pi}{2} \).
Например: \( \sin (\pi - \alpha) = \sin \alpha \) (вторая четверть, синус положительный).
Правило изменения функции
Если угол в формуле приведения имеет вид \( \frac{\pi}{2} \pm \alpha \) или \( \frac{3\pi}{2} \pm \alpha \), функция меняется на кофункцию (синус на косинус, тангенс на котангенс). Если угол имеет вид \( \pi \pm \alpha \) или \( 2\pi \pm \alpha \), функция не меняется.
Например: \( \cos (\frac{\pi}{2} + \alpha) = -\sin \alpha \) (косинус меняется на синус). \( \tan (\pi + \alpha) = \tan \alpha \) (тангенс не меняется).
Периодичность и четность/нечетность
Тригонометрические функции периодичны: \( \sin (\alpha + 2\pi k) = \sin \alpha \), \( \cos (\alpha + 2\pi k) = \cos \alpha \). Функции синус, тангенс, котангенс — нечетные (\( f(-\alpha) = -f(\alpha) \)), косинус — четная (\( f(-\alpha) = f(\alpha) \)).
\( \cos (-\alpha) = \cos \alpha \); \( \sin (\alpha - 2\pi) = \sin \alpha \).
Не сходится своя задача? Разберём по шагам
Формула, подстановка и расчёт
Числа считает калькулятор, а не нейросеть
Бесплатно и без регистрации
Другие упражнения из параграфа § 31
Глава
Глава 5
Параграф
§ 31 — Формулы приведения
Учебник
Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы
Автор
Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год
2025
Задали работу по этой теме?
Реферат, доклад или проект по параграфу: план, текст, таблицы и оформление по требованиям.
Уведомление об авторском праве и цитировании
ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов
используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме,
оправданном поставленной целью .
Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве
(в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).
В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования
указаны для каждого используемого фрагмента.
