ГДЗ: Упражнение 535 - § 31 (Формулы приведения) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Цель: Решить тригонометрическое уравнение \( \cos (\frac{\pi}{2} - x) = 1 \).

• Используем формулу приведения: \( \cos (\frac{\pi}{2} - x) = \sin x \). (Угол \( \frac{\pi}{2} - x \) в I или IV четверти, функция меняется, знак '+\' или '\-'. Однако, для всех \(x\): \(\cos (\frac{\pi}{2} - x) = \sin x \)).
• Уравнение принимает вид:
  \[ \sin x = 1 \]

• Общее решение уравнения \( \sin x = 1 \) имеет вид:
  \[ x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, \text{ где } k \in \mathbb{Z} \]

Ответ: \( x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, \text{ где } k \in \mathbb{Z} \)

Цель: Решить тригонометрическое уравнение \( \sin (\frac{3\pi}{2} + x) = 1 \).

• Используем формулу приведения: \( \sin (\frac{3\pi}{2} + x) \).
• Угол \( \frac{3\pi}{2} + x \) находится в IV четверти (если \( x \) - острый), синус там отрицателен. Функция меняется на косинус.
  \[ \sin (\frac{3\pi}{2} + x) = -\cos x \]
• Уравнение принимает вид:
  \[ -\cos x = 1 \]
• Умножаем на -1:
  \[ \cos x = -1 \]

• Общее решение уравнения \( \cos x = -1 \) имеет вид:
  \[ x = \pi + 2\pi k, \text{ где } k \in \mathbb{Z} \]

Ответ: \( x = \pi + 2\pi k, \text{ где } k \in \mathbb{Z} \)

Цель: Решить тригонометрическое уравнение \( \cos (x - \pi) = 0 \).

• Используем четность косинуса: \( \cos (x - \pi) = \cos (\pi - x) \).
• Применяем формулу приведения: \( \cos (\pi - x) = -\cos x \). (Угол \( \pi - x \) во II четверти, косинус там отрицателен. Функция не меняется).
• Уравнение принимает вид:
  \[ -\cos x = 0 \]
• Умножаем на -1:
  \[ \cos x = 0 \]

• Общее решение уравнения \( \cos x = 0 \) имеет вид:
  \[ x = \frac{\pi}{2} + \pi k, \text{ где } k \in \mathbb{Z} \]

Ответ: \( x = \frac{\pi}{2} + \pi k, \text{ где } k \in \mathbb{Z} \)

Цель: Решить тригонометрическое уравнение \( \sin (x - \frac{\pi}{2}) = 1 \).

• Используем нечетность синуса: \( \sin (x - \frac{\pi}{2}) = -\sin (\frac{\pi}{2} - x) \).
• Применяем формулу приведения: \( -\sin (\frac{\pi}{2} - x) = -\cos x \).
• Уравнение принимает вид:
  \[ -\cos x = 1 \]
• Умножаем на -1:
  \[ \cos x = -1 \]

• Общее решение уравнения \( \cos x = -1 \) имеет вид:
  \[ x = \pi + 2\pi k, \text{ где } k \in \mathbb{Z} \]

Ответ: \( x = \pi + 2\pi k, \text{ где } k \in \mathbb{Z} \)

Цель: Решить тригонометрическое уравнение.

• Периодичность синуса \( 2\pi \): \( \sin (2x + 3\pi) = \sin (2x + 2\pi + \pi) = \sin (2x + \pi) \).
• Формула приведения: \( \sin (\pi + \alpha) = -\sin \alpha \).
  \[ \sin (2x + \pi) = -\sin 2x \]

• Формула приведения: \( \sin (\frac{3\pi}{2} + \alpha) = -\cos \alpha \).
  \[ \sin (3x + \frac{3\pi}{2}) = -\cos 3x \]

• Уравнение принимает вид:
  \[ (- \sin 2x) \cdot (- \cos 3x) - \sin 3x \cos 2x = -1 \]
• Раскрываем скобки:
  \[ \sin 2x \cos 3x - \cos 2x \sin 3x = -1 \]

• Используем формулу \( \sin (\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta \).
• Пусть \( \alpha = 2x \) и \( \beta = 3x \).
  \[ \sin (2x - 3x) = -1 \]
• Упрощаем аргумент:
  \[ \sin (-x) = -1 \]

• Нечетность синуса: \( -\sin x = -1 \).
• Умножаем на -1:
  \[ \sin x = 1 \]
• Общее решение уравнения \( \sin x = 1 \) имеет вид:
  \[ x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, \text{ где } k \in \mathbb{Z} \]

Ответ: \( x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, \text{ где } k \in \mathbb{Z} \)

Цель: Решить тригонометрическое уравнение.

• Нечетность синуса: \( \sin (5x - \frac{3\pi}{2}) = -\sin (\frac{3\pi}{2} - 5x) \).
• Формула приведения: \( -\sin (\frac{3\pi}{2} - \alpha) = -(-\cos \alpha) = \cos \alpha \).
  \[ -\sin (\frac{3\pi}{2} - 5x) = -(-\cos 5x) = \cos 5x \]

• Периодичность косинуса \( 2\pi \): \( 4\pi = 2 \cdot 2\pi \).
  \[ \cos (2x + 4\pi) = \cos 2x \]

• Формула приведения: \( \sin (\pi + \alpha) = -\sin \alpha \).
  \[ \sin (5x + \pi) = -\sin 5x \]

• Уравнение принимает вид:
  \[ (\cos 5x) \cdot (\cos 2x) - (-\sin 5x) \cdot \sin 2x = 0 \]
• Раскрываем скобки:
  \[ \cos 5x \cos 2x + \sin 5x \sin 2x = 0 \]

• Используем формулу \( \cos (\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta \).
• Пусть \( \alpha = 5x \) и \( \beta = 2x \).
  \[ \cos (5x - 2x) = 0 \]
• Упрощаем аргумент:
  \[ \cos 3x = 0 \]

• Общее решение уравнения \( \cos \gamma = 0 \) имеет вид: \( \gamma = \frac{\pi}{2} + \pi k \).
• Для \( 3x \):
  \[ 3x = \frac{\pi}{2} + \pi k, \text{ где } k \in \mathbb{Z} \]
• Делим на 3:
  \[ x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{3}, \text{ где } k \in \mathbb{Z} \]

Ответ: \( x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{3}, \text{ где } k \in \mathbb{Z} \)