ГДЗ: Упражнение 527 - § 31 (Формулы приведения) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Цель: Упростить тригонометрическое выражение.

• Числитель, первый член: \( \ctg (\frac{\pi}{2} - \alpha) \).
  • Четверть: I. Знак: +. Функция меняется (\( \ctg \to \tg \)).
  • \( \ctg (\frac{\pi}{2} - \alpha) = \tg \alpha \).
• Числитель, второй член: \( -\tg (\pi + \alpha) \).
  • Четверть: III. Знак \( \tg \) в III четверти: +. Функция не меняется.
  • \( -\tg (\pi + \alpha) = -(\tg \alpha) = -\tg \alpha \).
• Числитель, третий член: \( +\sin (\frac{3\pi}{2} + \alpha) \).
  • Четверть: IV. Знак \( \sin \) в IV четверти: -. Функция меняется (\( \sin \to \cos \)).
  • \( +\sin (\frac{3\pi}{2} + \alpha) = -\cos \alpha \).
• Знаменатель: \( \cos (\pi + \alpha) \).
  • Четверть: III. Знак \( \cos \) в III четверти: -. Функция не меняется.
  • \( \cos (\pi + \alpha) = -\cos \alpha \).

\[ \frac{\tg \alpha - \tg \alpha - \cos \alpha}{-\cos \alpha} \]

\[ \frac{-\cos \alpha}{-\cos \alpha} \]

Деление числителя на знаменатель (при условии \( \cos \alpha \ne 0 \)):

\[ \frac{-\cos \alpha}{-\cos \alpha} = 1 \]

Ответ: \( 1 \)

Цель: Упростить тригонометрическое выражение.

• Числитель, первый член: \( \sin (\pi - \alpha) \).
  • Четверть: II. Знак \( \sin \): +. Функция не меняется.
  • \( \sin (\pi - \alpha) = \sin \alpha \).
• Числитель, второй член: \( \cos (\frac{3\pi}{2} + \alpha) \).
  • Четверть: IV. Знак \( \cos \): +. Функция меняется (\( \cos \to \sin \)).
  • \( \cos (\frac{3\pi}{2} + \alpha) = \sin \alpha \).
• Числитель, третий член: \( \ctg (\pi - \alpha) \).
  • Четверть: II. Знак \( \ctg \): -. Функция не меняется.
  • \( \ctg (\pi - \alpha) = -\ctg \alpha \).
• Знаменатель: \( \tg (\frac{3\pi}{2} - \alpha) \).
  • Четверть: III. Знак \( \tg \): +. Функция меняется (\( \tg \to \ctg \)).
  • \( \tg (\frac{3\pi}{2} - \alpha) = \ctg \alpha \).

\[ \frac{\sin \alpha + \sin \alpha - \ctg \alpha}{\ctg \alpha} \]

\[ \frac{2\sin \alpha - \ctg \alpha}{\ctg \alpha} = \frac{2\sin \alpha}{\ctg \alpha} - \frac{\ctg \alpha}{\ctg \alpha} \]

\[ \frac{2\sin \alpha}{\ctg \alpha} - 1 \]

Используем определение \( \ctg \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} \) (при \( \sin \alpha \ne 0 \) и \( \cos \alpha \ne 0 \)):

\[ \frac{\sin \alpha}{\ctg \alpha} = \sin \alpha \div \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = \sin \alpha \cdot \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\sin^2 \alpha}{\cos \alpha} \]

\[ 2\frac{\sin^2 \alpha}{\cos \alpha} - 1 \]

Ответ: \( \frac{2\sin^2 \alpha}{\cos \alpha} - 1 \) (или \( 2\sin \alpha \cdot \tg \alpha - 1 \))