ГДЗ: Упражнение 526 - § 31 (Формулы приведения) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Цель: Вычислить \( \tg \frac{5\pi}{4} \) с помощью формул приведения.

• Представим \( \frac{5\pi}{4} \) как \( \pi + \frac{\pi}{4} \): \( \tg \frac{5\pi}{4} = \tg (\pi + \frac{\pi}{4}) \).

• Угол \( \pi + \frac{\pi}{4} \) находится в третьей четверти. Тангенс в третьей четверти положителен, поэтому ставим знак «+».
• Угол содержит \( \pi \), функция не меняется.
• Формула приведения: \( \tg (\pi + \frac{\pi}{4}) = +\tg \frac{\pi}{4} \).

• Используем табличное значение \( \tg \frac{\pi}{4} = 1 \).
• \( \tg \frac{5\pi}{4} = 1 \).

Ответ: \( 1 \)

Цель: Вычислить \( \sin \frac{7\pi}{6} \) с помощью формул приведения.

• Представим \( \frac{7\pi}{6} \) как \( \pi + \frac{\pi}{6} \): \( \sin \frac{7\pi}{6} = \sin (\pi + \frac{\pi}{6}) \).

• Угол \( \pi + \frac{\pi}{6} \) находится в третьей четверти. Синус в третьей четверти отрицателен, поэтому ставим знак «-».
• Угол содержит \( \pi \), функция не меняется.
• Формула приведения: \( \sin (\pi + \frac{\pi}{6}) = -\sin \frac{\pi}{6} \).

• Используем табличное значение \( \sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2} \).
• \( \sin \frac{7\pi}{6} = -\frac{1}{2} \).

Ответ: \( -\frac{1}{2} \)

Цель: Вычислить \( \sin \frac{5\pi}{3} \) с помощью формул приведения.

• Представим \( \frac{5\pi}{3} \) как \( 2\pi - \frac{\pi}{3} \): \( \sin \frac{5\pi}{3} = \sin (2\pi - \frac{\pi}{3}) \).

• Угол \( 2\pi - \frac{\pi}{3} \) находится в четвертой четверти. Синус в четвертой четверти отрицателен, поэтому ставим знак «-».
• Угол содержит \( 2\pi \), функция не меняется.
• Формула приведения: \( \sin (2\pi - \frac{\pi}{3}) = -\sin \frac{\pi}{3} \).

• Используем табличное значение \( \sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} \).
• \( \sin \frac{5\pi}{3} = -\frac{\sqrt{3}}{2} \).

Ответ: \( -\frac{\sqrt{3}}{2} \)

Цель: Вычислить \( \ctg \frac{5\pi}{3} \) с помощью формул приведения.

• Представим \( \frac{5\pi}{3} \) как \( 2\pi - \frac{\pi}{3} \): \( \ctg \frac{5\pi}{3} = \ctg (2\pi - \frac{\pi}{3}) \).

• Угол \( 2\pi - \frac{\pi}{3} \) находится в четвертой четверти. Котангенс в четвертой четверти отрицателен, поэтому ставим знак «-».
• Угол содержит \( 2\pi \), функция не меняется.
• Формула приведения: \( \ctg (2\pi - \frac{\pi}{3}) = -\ctg \frac{\pi}{3} \).

• Используем табличное значение \( \ctg \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{3} \).
• \( \ctg \frac{5\pi}{3} = -\frac{\sqrt{3}}{3} \).

Ответ: \( -\frac{\sqrt{3}}{3} \)

Цель: Вычислить \( \sin (-\frac{13\pi}{6}) \) с помощью формул приведения.

• Синус – нечетная функция: \( \sin (-\alpha) = -\sin \alpha \).
• \( \sin (-\frac{13\pi}{6}) = -\sin \frac{13\pi}{6} \).

• Разложим \( \frac{13\pi}{6} \) как \( 2\pi + \frac{\pi}{6} \). Период синуса \( 2\pi \).
• \( -\sin \frac{13\pi}{6} = -\sin (2\pi + \frac{\pi}{6}) \).
• \( -\sin (2\pi + \frac{\pi}{6}) = -\sin \frac{\pi}{6} \).

• Используем табличное значение \( \sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2} \).
• \( \sin (-\frac{13\pi}{6}) = -\frac{1}{2} \).

Ответ: \( -\frac{1}{2} \)

Цель: Вычислить \( \cos (-\frac{7\pi}{3}) \) с помощью формул приведения.

• Косинус – четная функция: \( \cos (-\alpha) = \cos \alpha \).
• \( \cos (-\frac{7\pi}{3}) = \cos \frac{7\pi}{3} \).

• Разложим \( \frac{7\pi}{3} \) как \( 2\pi + \frac{\pi}{3} \). Период косинуса \( 2\pi \).
• \( \cos \frac{7\pi}{3} = \cos (2\pi + \frac{\pi}{3}) \).
• \( \cos (2\pi + \frac{\pi}{3}) = \cos \frac{\pi}{3} \).

• Используем табличное значение \( \cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} \).
• \( \cos (-\frac{7\pi}{3}) = \frac{1}{2} \).

Ответ: \( \frac{1}{2} \)

Цель: Вычислить \( \tg (-\frac{2\pi}{3}) \) с помощью формул приведения.

• Тангенс – нечетная функция: \( \tg (-\alpha) = -\tg \alpha \).
• \( \tg (-\frac{2\pi}{3}) = -\tg \frac{2\pi}{3} \).

• Разложим \( \frac{2\pi}{3} \) как \( \pi - \frac{\pi}{3} \).
• \( -\tg \frac{2\pi}{3} = -\tg (\pi - \frac{\pi}{3}) \).
• Угол \( \pi - \frac{\pi}{3} \) во второй четверти. Тангенс отрицателен: \( \tg (\pi - \frac{\pi}{3}) = -\tg \frac{\pi}{3} \).
• Получаем: \( - (-\tg \frac{\pi}{3}) = \tg \frac{\pi}{3} \).

• Используем табличное значение \( \tg \frac{\pi}{3} = \sqrt{3} \).
• \( \tg (-\frac{2\pi}{3}) = \sqrt{3} \).

Ответ: \( \sqrt{3} \)

Цель: Вычислить \( \ctg (-\frac{7\pi}{4}) \) с помощью формул приведения.

• Котангенс – нечетная функция: \( \ctg (-\alpha) = -\ctg \alpha \).
• \( \ctg (-\frac{7\pi}{4}) = -\ctg \frac{7\pi}{4} \).

• Разложим \( \frac{7\pi}{4} \) как \( 2\pi - \frac{\pi}{4} \).
• \( -\ctg \frac{7\pi}{4} = -\ctg (2\pi - \frac{\pi}{4}) \).
• Угол \( 2\pi - \frac{\pi}{4} \) в четвертой четверти. Котангенс отрицателен: \( \ctg (2\pi - \frac{\pi}{4}) = -\ctg \frac{\pi}{4} \).
• Получаем: \( - (-\ctg \frac{\pi}{4}) = \ctg \frac{\pi}{4} \).

• Используем табличное значение \( \ctg \frac{\pi}{4} = 1 \).
• \( \ctg (-\frac{7\pi}{4}) = 1 \).

Ответ: \( 1 \)