ГДЗ: Упражнение 528 - § 31 (Формулы приведения) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Цель: Упростить тригонометрическое выражение.

• Числитель, первый член: \( \sin (\frac{3\pi}{2} + \alpha) \).
  • Четверть: IV. Знак \( \sin \): -. Функция меняется (\( \sin \to \cos \)).
  • \( \sin (\frac{3\pi}{2} + \alpha) = -\cos \alpha \).
• Числитель, второй член: \( \tg (\pi + \alpha) \).
  • Четверть: III. Знак \( \tg \): +. Функция не меняется.
  • \( \tg (\pi + \alpha) = \tg \alpha \).
• Знаменатель, первый член: \( \ctg (2\pi - \alpha) \).
  • Четверть: IV. Знак \( \ctg \): -. Функция не меняется.
  • \( \ctg (2\pi - \alpha) = -\ctg \alpha \).
• Знаменатель, второй член: \( \sin (\pi + \alpha) \).
  • Четверть: III. Знак \( \sin \): -. Функция не меняется.
  • \( \sin (\pi + \alpha) = -\sin \alpha \).

\[ \frac{(-\cos \alpha) \cdot (\tg \alpha)}{(-\ctg \alpha) \cdot (-\sin \alpha)} \]

\[ \frac{-\cos \alpha \cdot \tg \alpha}{\ctg \alpha \cdot \sin \alpha} \]

Используем определения \( \tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \) и \( \ctg \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} \) (при условии, что знаменатели не равны нулю).

Числитель: \( -\cos \alpha \cdot \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = -\sin \alpha \).

Знаменатель: \( \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} \cdot \sin \alpha = \cos \alpha \).

Подставляем в дробь:

\[ \frac{-\sin \alpha}{\cos \alpha} \]

По определению \( \tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \):

\[ -\tg \alpha \]

Ответ: \( -\tg \alpha \)

Цель: Упростить тригонометрическое выражение.

• Первый член в числителе: \( \sin (\pi + \alpha) \).
  • Четверть: III. Знак \( \sin \): -. Функция не меняется.
  • \( \sin (\pi + \alpha) = -\sin \alpha \).
    Тогда \( \sin^2 (\pi + \alpha) = (-\sin \alpha)^2 = \sin^2 \alpha \).
• Второй член в числителе: \( \sin (\frac{\pi}{2} + \alpha) \).
  • Четверть: II. Знак \( \sin \): +. Функция меняется (\( \sin \to \cos \)).
  • \( \sin (\frac{\pi}{2} + \alpha) = \cos \alpha \).
    Тогда \( \sin^2 (\frac{\pi}{2} + \alpha) = (\cos \alpha)^2 = \cos^2 \alpha \).
• Знаменатель: \( \cos (\frac{3\pi}{2} + \alpha) \).
  • Четверть: IV. Знак \( \cos \): +. Функция меняется (\( \cos \to \sin \)).
  • \( \cos (\frac{3\pi}{2} + \alpha) = \sin \alpha \).
• Множитель: \( \ctg (\frac{3\pi}{2} - \alpha) \).
  • Четверть: III. Знак \( \ctg \): +. Функция меняется (\( \ctg \to \tg \)).
  • \( \ctg (\frac{3\pi}{2} - \alpha) = \tg \alpha \).

\[ \frac{\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha}{\sin \alpha} \cdot \tg \alpha \]

Поскольку \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \):

\[ \frac{1}{\sin \alpha} \cdot \tg \alpha \]

Используем определение \( \tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \) (при условии \( \sin \alpha \ne 0 \) и \( \cos \alpha \ne 0 \)):

\[ \frac{1}{\sin \alpha} \cdot \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \]

Сокращаем \( \sin \alpha \):

\[ \frac{1}{\cos \alpha} \]

Ответ: \( \frac{1}{\cos \alpha} \) (или \( \sec \alpha \))