А вы знали?
Проект, реферат или доклад можно создать с помощью ИИ за 5 минут — и сразу скачать готовый файл Word.
Попробовать
533 упражнение:
Доказать тождество (532–533).
1)
\( \sin (\frac{7\pi}{6} + \alpha) = -\sin (\frac{\pi}{6} + \alpha) \)
Ответ
Цель: Доказать тождество \( \sin (\frac{7\pi}{6} + \alpha) = -\sin (\frac{\pi}{6} + \alpha) \).
Шаг 1. Преобразуем левую часть (ЛЧ). Представим аргумент \( \frac{7\pi}{6} + \alpha \) как \( \pi + (\frac{\pi}{6} + \alpha) \). \[ \text{ЛЧ} = \sin (\pi + (\frac{\pi}{6} + \alpha)) \] Шаг 2. Применяем формулу приведения \( \sin (\pi + \beta) = -\sin \beta \). Пусть \( \beta = \frac{\pi}{6} + \alpha \). Угол \( \pi + \beta \) находится в III четверти (если \( \beta \) — острый), синус там отрицателен . Функция не меняется . \[ \sin (\pi + (\frac{\pi}{6} + \alpha)) = -\sin (\frac{\pi}{6} + \alpha) \] Шаг 3. Сравнение с правой частью (ПЧ). \[ \text{ПЧ} = -\sin (\frac{\pi}{6} + \alpha) \]
Так как ЛЧ = ПЧ, тождество доказано.
2)
\( \sin (\frac{5\pi}{4} + \alpha) = -\sin (\frac{3\pi}{4} - \alpha) \)
Ответ
Цель: Доказать тождество \( \sin (\frac{5\pi}{4} + \alpha) = -\sin (\frac{3\pi}{4} - \alpha) \).
Шаг 1. Преобразуем левую часть (ЛЧ). Представим аргумент \( \frac{5\pi}{4} + \alpha \) как \( \pi + (\frac{\pi}{4} + \alpha) \). \[ \text{ЛЧ} = \sin (\pi + (\frac{\pi}{4} + \alpha)) \] Применяем формулу приведения \( \sin (\pi + \beta) = -\sin \beta \). \[ \text{ЛЧ} = -\sin (\frac{\pi}{4} + \alpha) \] Шаг 2. Преобразуем правую часть (ПЧ). Представим аргумент \( \frac{3\pi}{4} - \alpha \) как \( \frac{\pi}{2} + (\frac{\pi}{4} - \alpha) \). \[ \text{ПЧ} = -\sin (\frac{\pi}{2} + (\frac{\pi}{4} - \alpha)) \] Применяем формулу приведения \( \sin (\frac{\pi}{2} + \beta) = \cos \beta \). \[ \text{ПЧ} = -\cos (\frac{\pi}{4} - \alpha) \] Шаг 3. Продолжаем преобразование ПЧ. Используем формулу приведения \( \cos (\frac{\pi}{2} - \gamma) = \sin \gamma \). Представим аргумент \( \frac{\pi}{4} - \alpha \) как \( \frac{\pi}{2} - (\frac{\pi}{4} + \alpha) \). \[ \text{ПЧ} = -\cos (\frac{\pi}{2} - (\frac{\pi}{4} + \alpha)) \] Применяем формулу приведения \( \cos (\frac{\pi}{2} - \gamma) = \sin \gamma \): Шаг 4. Сравнение. Так как ЛЧ (\( -\sin (\frac{\pi}{4} + \alpha) \)) = ПЧ (\( -\sin (\frac{\pi}{4} + \alpha) \)), тождество доказано.
3)
\( \cos (\alpha - \frac{2\pi}{3}) = -\cos (\frac{\pi}{3} + \alpha) \)
Ответ
Цель: Доказать тождество \( \cos (\alpha - \frac{2\pi}{3}) = -\cos (\frac{\pi}{3} + \alpha) \).
Шаг 1. Преобразуем левую часть (ЛЧ) с использованием четности косинуса. Косинус – четная функция: \( \cos (-\beta) = \cos \beta \). \[ \text{ЛЧ} = \cos (\alpha - \frac{2\pi}{3}) = \cos (-(\frac{2\pi}{3} - \alpha)) = \cos (\frac{2\pi}{3} - \alpha) \] Шаг 2. Применяем формулу приведения к ЛЧ. Представим аргумент \( \frac{2\pi}{3} - \alpha \) как \( \pi - (\frac{\pi}{3} + \alpha) \). \[ \text{ЛЧ} = \cos (\pi - (\frac{\pi}{3} + \alpha)) \] Применяем формулу приведения \( \cos (\pi - \beta) = -\cos \beta \). \[ \text{ЛЧ} = -\cos (\frac{\pi}{3} + \alpha) \] Шаг 3. Сравнение с правой частью (ПЧ). \[ \text{ПЧ} = -\cos (\frac{\pi}{3} + \alpha) \]
Так как ЛЧ = ПЧ, тождество доказано.
4)
\( \cos (\alpha - \frac{2\pi}{3}) = \cos (\alpha + \frac{4\pi}{3}) \)
Ответ
Цель: Доказать тождество \( \cos (\alpha - \frac{2\pi}{3}) = \cos (\alpha + \frac{4\pi}{3}) \).
Шаг 1. Преобразуем правую часть (ПЧ) с использованием периодичности косинуса. Период косинуса \( 2\pi \). Представим \( \frac{4\pi}{3} \) как \( 2\pi - \frac{2\pi}{3} \). \[ \text{ПЧ} = \cos (\alpha + 2\pi - \frac{2\pi}{3}) \] Отбрасываем период \( 2\pi \): Шаг 2. Сравнение с левой частью (ЛЧ). \[ \text{ЛЧ} = \cos (\alpha - \frac{2\pi}{3}) \]
Так как ЛЧ = ПЧ, тождество доказано.
Что применять при решении
Правило знака
Знак правой части формулы приведения соответствует знаку функции, стоящей в левой части, в той четверти, где находится аргумент левой части, при условии, что \( 0 < \alpha < \frac{\pi}{2} \).
Например: \( \sin (\pi - \alpha) = \sin \alpha \) (вторая четверть, синус положительный).
Правило изменения функции
Если угол в формуле приведения имеет вид \( \frac{\pi}{2} \pm \alpha \) или \( \frac{3\pi}{2} \pm \alpha \), функция меняется на кофункцию (синус на косинус, тангенс на котангенс). Если угол имеет вид \( \pi \pm \alpha \) или \( 2\pi \pm \alpha \), функция не меняется.
Например: \( \cos (\frac{\pi}{2} + \alpha) = -\sin \alpha \) (косинус меняется на синус). \( \tan (\pi + \alpha) = \tan \alpha \) (тангенс не меняется).
Периодичность и четность/нечетность
Тригонометрические функции периодичны: \( \sin (\alpha + 2\pi k) = \sin \alpha \), \( \cos (\alpha + 2\pi k) = \cos \alpha \). Функции синус, тангенс, котангенс — нечетные (\( f(-\alpha) = -f(\alpha) \)), косинус — четная (\( f(-\alpha) = f(\alpha) \)).
\( \cos (-\alpha) = \cos \alpha \); \( \sin (\alpha - 2\pi) = \sin \alpha \).
Не сходится своя задача? Разберём по шагам
Формула, подстановка и расчёт
Числа считает калькулятор, а не нейросеть
Бесплатно и без регистрации
Другие упражнения из параграфа § 31
Глава
Глава 5
Параграф
§ 31 — Формулы приведения
Учебник
Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы
Автор
Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год
2025
Задали работу по этой теме?
Реферат, доклад или проект по параграфу: план, текст, таблицы и оформление по требованиям.
Уведомление об авторском праве и цитировании
ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов
используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме,
оправданном поставленной целью .
Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве
(в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).
В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования
указаны для каждого используемого фрагмента.
