ГДЗ: Упражнение 570 - § 33 (Тригонометрические уравнения. Уравнение cos x = a) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Пояснение: Функция \( y = \arccos x \) является убывающей на своей области определения \( [-1; 1] \). Это означает, что если \( a < b \), то \( \arccos a > \arccos b \).

Решение:

• Сравниваем аргументы: \( \frac{\sqrt{3}}{2} \) и \( \frac{1}{2} \).
• Так как \( \sqrt{3} \approx 1.732 \), то \( \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.866 \). Очевидно, что \( \frac{\sqrt{3}}{2} > \frac{1}{2} \).
• По свойству убывания функции \( \arccos x \): если \( \frac{\sqrt{3}}{2} > \frac{1}{2} \), то \( \arccos \frac{\sqrt{3}}{2} < \arccos \frac{1}{2} \).
• Проверим по табличным значениям: \( \arccos \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{6} \), \( \arccos \frac{1}{2} = \frac{\pi}{3} \). Так как \( \frac{\pi}{6} < \frac{\pi}{3} \), сравнение верно.

Ответ: \( \arccos \frac{\sqrt{3}}{2} < \arccos \frac{1}{2} \)

Пояснение: Функция \( y = \arccos x \) является убывающей на \( [-1; 1] \). Если \( a < b \), то \( \arccos a > \arccos b \).

Решение:

• Сравниваем аргументы: \( -\frac{3}{4} = -0.75 \) и \( -1 \).
• Очевидно, что \( -1 < -\frac{3}{4} \).
• По свойству убывания функции \( \arccos x \): если \( -1 < -\frac{3}{4} \), то \( \arccos (-1) > \arccos \left( -\frac{3}{4} \right) \).
• Также, \( \arccos (-1) = \pi \). Арккосинус любого другого числа из \( (-1, 1] \) меньше \( \pi \), так как \( \arccos x \in [0, \pi] \).

Ответ: \( \arccos \left( -\frac{3}{4} \right) < \arccos (-1) \)

Пояснение: Используем свойство убывания функции \( y = \arccos x \) и тот факт, что для \( x \in (0, 1] \) значение \( \arccos x \in [0, \frac{\pi}{2}) \), а для \( x \in [-1, 0) \) значение \( \arccos x \in (\frac{\pi}{2}, \pi] \).

Решение:

• Аргумент \( \frac{\sqrt{2}}{2} > 0 \), следовательно \( \arccos \frac{\sqrt{2}}{2} \in [0, \frac{\pi}{2}) \). (Фактически \( \arccos \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\pi}{4} \)).
• Аргумент \( -\frac{1}{2} < 0 \), следовательно \( \arccos \left( -\frac{1}{2} \right) \in (\frac{\pi}{2}, \pi] \). (Фактически \( \arccos \left( -\frac{1}{2} \right) = \frac{2\pi}{3} \)).
• Так как \( \frac{\pi}{4} < \frac{\pi}{2} \) и \( \frac{2\pi}{3} > \frac{\pi}{2} \), то \( \frac{\pi}{4} < \frac{2\pi}{3} \).

Ответ: \( \arccos \frac{\sqrt{2}}{2} < \arccos \left( -\frac{1}{2} \right) \)