ГДЗ: Упражнение 580 - § 33 (Тригонометрические уравнения. Уравнение cos x = a) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)
Доказать, что при всех значениях \( a \), таких, что \( -1 \le a \le 1 \), выполняется равенство \( \cos (\arccos a) = a \). Вычислить:
1)
\( \cos (\arccos 0.2) \)
Ответ
Пояснение: Сначала докажем равенство. По определению, \( \arccos a \) — это угол \( \alpha \in [0; \pi] \), косинус которого равен \( a \). То есть, \( \cos (\arccos a) = a \) по определению арккосинуса, при условии, что \( a \) находится в области определения арккосинуса, то есть \( a \in [-1; 1] \). \( 0.2 \in [-1; 1] \), поэтому равенство справедливо.
Решение:
Так как \( 0.2 \in [-1; 1] \), то по определению \( \cos (\arccos 0.2) = 0.2 \).
Пояснение: По определению, \( \cos (\arccos a) = a \) при условии, что \( a \in [-1; 1] \). \( -\frac{2}{3} \in [-1; 1] \), поэтому равенство справедливо.
Решение:
Так как \( -\frac{2}{3} \in [-1; 1] \), то по определению \( \cos \left( \arccos \left( -\frac{2}{3} \right) \right) = -\frac{2}{3} \).
Ответ: \( -\frac{2}{3} \)
Что применять при решении
Общая формула решения уравнения \( \cos x = a \)
Если \( |a| \le 1 \), то уравнение \( \cos x = a \) имеет бесконечное множество корней, которые находятся по формуле:
\( x = \pm \arccos a + 2\pi k, \ k \in \mathbb{Z} \)
Случай \( \cos x = 1 \)
Формула для нахождения корней уравнения \( \cos x = 1 \) (частный случай):
\( x = 2\pi k, \ k \in \mathbb{Z} \)
Случай \( \cos x = -1 \)
Формула для нахождения корней уравнения \( \cos x = -1 \) (частный случай):
\( x = \pi + 2\pi k, \ k \in \mathbb{Z} \)
Случай \( \cos x = 0 \)
Формула для нахождения корней уравнения \( \cos x = 0 \) (частный случай):
\( x = \frac{\pi}{2} + \pi k, \ k \in \mathbb{Z} \)
Свойство арккосинуса
Для любого \( a \in [-1; 1] \) справедлива формула, позволяющая находить значения арккосинусов отрицательных чисел через значения арккосинусов положительных чисел:
Создать проектГотовый файл Word. Оплата после того, как увидите работу.
Уведомление об авторском праве и цитировании
ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов
используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме,
оправданном поставленной целью.
Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве
(в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).
В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования
указаны для каждого используемого фрагмента.
