ГДЗ: Упражнение 575 - § 33 (Тригонометрические уравнения. Уравнение cos x = a) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Пояснение: Выражение \( \arccos a \) имеет смысл, если аргумент \( a \) находится в пределах \( [-1; 1] \).

Решение:

• Оценим аргумент \( a = \sqrt{6} - 3 \).
• Известно, что \( 2 < \sqrt{6} < 3 \) (так как \( 2^2=4 \) и \( 3^2=9 \)). Точнее, \( \sqrt{6} \approx 2.45 \).
• Вычисляем приближенное значение: \( \sqrt{6} - 3 \approx 2.45 - 3 = -0.55 \).
• Точная оценка: \( 2 < \sqrt{6} < 2.5 \).
• Тогда \( 2 - 3 < \sqrt{6} - 3 < 2.5 - 3 \), то есть \( -1 < \sqrt{6} - 3 < -0.5 \).
• Таким образом, аргумент \( \sqrt{6} - 3 \in [-1; 1] \).
• Вывод: Выражение имеет смысл.

Ответ: Имеет смысл

Пояснение: Выражение \( \arccos a \) имеет смысл, если аргумент \( a \) находится в пределах \( [-1; 1] \).

Решение:

• Оценим аргумент \( a = \sqrt{7} - 2 \).
• Известно, что \( 2 < \sqrt{7} < 3 \) (так как \( 2^2=4 \) и \( 3^2=9 \)). Точнее, \( \sqrt{7} \approx 2.65 \).
• Вычисляем приближенное значение: \( \sqrt{7} - 2 \approx 2.65 - 2 = 0.65 \).
• Сравним аргумент с 1: \( \sqrt{7} - 2 \le 1 \implies \sqrt{7} \le 3 \implies 7 \le 9 \) (верно).
• Сравним аргумент с -1: \( \sqrt{7} - 2 \ge -1 \implies \sqrt{7} \ge 1 \implies 7 \ge 1 \) (верно).
• Таким образом, аргумент \( \sqrt{7} - 2 \in [-1; 1] \).
• Вывод: Выражение имеет смысл.

Ответ: Имеет смысл

Пояснение: Выражение \( \arccos a \) имеет смысл, если аргумент \( a \) находится в пределах \( [-1; 1] \).

Решение:

• Оценим аргумент \( a = 2 - \sqrt{10} \).
• Известно, что \( 3 < \sqrt{10} < 4 \) (так как \( 3^2=9 \) и \( 4^2=16 \)). Точнее, \( \sqrt{10} \approx 3.16 \).
• Вычисляем приближенное значение: \( 2 - \sqrt{10} \approx 2 - 3.16 = -1.16 \).
• Сравним аргумент с -1: \( 2 - \sqrt{10} \ge -1 \implies 3 \ge \sqrt{10} \implies 9 \ge 10 \). Это неверно.
• Таким образом, \( 2 - \sqrt{10} < -1 \).
• Вывод: Выражение не имеет смысла, так как аргумент не принадлежит \( [-1; 1] \).

Ответ: Не имеет смысла

Пояснение: Выражение \( \arccos a \) имеет смысл, если аргумент \( a \) находится в пределах \( [-1; 1] \).

Решение:

• Оценим аргумент \( a = 1 - \sqrt{5} \).
• Известно, что \( 2 < \sqrt{5} < 3 \) (так как \( 2^2=4 \) и \( 3^2=9 \)). Точнее, \( \sqrt{5} \approx 2.236 \).
• Вычисляем приближенное значение: \( 1 - \sqrt{5} \approx 1 - 2.236 = -1.236 \).
• Сравним аргумент с -1: \( 1 - \sqrt{5} \ge -1 \implies 2 \ge \sqrt{5} \implies 4 \ge 5 \). Это неверно.
• Таким образом, \( 1 - \sqrt{5} < -1 \).
• Вывод: Выражение не имеет смысла, так как аргумент не принадлежит \( [-1; 1] \).

Ответ: Не имеет смысла

Пояснение: Выражение \( \text{tg} (\dots) \) имеет смысл, если аргумент тангенса не равен \( \frac{\pi}{2} + \pi n \). Вычисляем значение в скобках. \( \arccos \frac{1}{2} = \frac{\pi}{3} \).

Решение:

• Находим значение выражения в скобках: \( 3 \arccos \frac{1}{2} = 3 \cdot \frac{\pi}{3} = \pi \).
• Подставляем в тангенс: \( \text{tg} (\pi) \).
• Известно, что \( \text{tg} \pi = 0 \).
• Вывод: Выражение имеет смысл.

Ответ: Имеет смысл (и равно 0)