ГДЗ: Упражнение 582 - § 33 (Тригонометрические уравнения. Уравнение cos x = a) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Пояснение: Используем формулу синуса суммы: \( \sin (\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta \). Обозначим \( \alpha = \arccos \frac{1}{3} \) и \( \beta = \arccos \frac{2\sqrt{2}}{3} \).

Решение:

• \( \cos \alpha = \frac{1}{3} \) и \( \cos \beta = \frac{2\sqrt{2}}{3} \).
• Находим \( \sin \alpha \) и \( \sin \beta \) из основного тригонометрического тождества, учитывая, что \( \alpha, \beta \in [0; \pi] \), поэтому \( \sin \alpha \ge 0 \) и \( \sin \beta \ge 0 \).
• \( \sin \alpha = \sqrt{1 - \cos^2 \alpha} = \sqrt{1 - \left( \frac{1}{3} \right)^2} = \sqrt{1 - \frac{1}{9}} = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{2\sqrt{2}}{3} \).
• \( \sin \beta = \sqrt{1 - \cos^2 \beta} = \sqrt{1 - \left( \frac{2\sqrt{2}}{3} \right)^2} = \sqrt{1 - \frac{8}{9}} = \sqrt{\frac{1}{9}} = \frac{1}{3} \).
• Применяем формулу синуса суммы: \( \sin (\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta \).
• \( \sin \left( \arccos \frac{1}{3} + \arccos \frac{2\sqrt{2}}{3} \right) = \frac{2\sqrt{2}}{3} \cdot \frac{2\sqrt{2}}{3} + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} \).
• Вычисляем: \( \frac{8}{9} + \frac{1}{9} = \frac{9}{9} = 1 \).

Ответ: \( 1 \)

Пояснение: Используем формулу косинуса разности: \( \cos (\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta \). Обозначим \( \alpha = \arccos \frac{4}{5} \) и \( \beta = \arccos \frac{3}{5} \).

Решение:

• \( \cos \alpha = \frac{4}{5} \) и \( \cos \beta = \frac{3}{5} \).
• Находим \( \sin \alpha \) и \( \sin \beta \) (углы из I четверти, синусы положительны):
• \( \sin \alpha = \sqrt{1 - \left( \frac{4}{5} \right)^2} = \sqrt{1 - \frac{16}{25}} = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5} \).
• \( \sin \beta = \sqrt{1 - \left( \frac{3}{5} \right)^2} = \sqrt{1 - \frac{9}{25}} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5} \).
• Применяем формулу косинуса разности: \( \cos (\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta \).
• \( \cos \left( \arccos \frac{4}{5} - \arccos \frac{3}{5} \right) = \frac{4}{5} \cdot \frac{3}{5} + \frac{3}{5} \cdot \frac{4}{5} \).
• Вычисляем: \( \frac{12}{25} + \frac{12}{25} = \frac{24}{25} \).

Ответ: \( \frac{24}{25} \)