ГДЗ: Упражнение 576 - § 33 (Тригонометрические уравнения. Уравнение cos x = a) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Пояснение: Используем основное тригонометрическое тождество \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \) для упрощения уравнения и приведения его к виду \( \cos t = a \) или \( \sin t = a \).

Решение:

• Используем тождество: \( 1 = \sin^2 2x + \cos^2 2x \).
• Подставим в уравнение: \( \cos^2 2x = (\sin^2 2x + \cos^2 2x) + \sin^2 2x \).
• Упрощаем: \( \cos^2 2x = 2 \sin^2 2x + \cos^2 2x \).
• Вычитаем \( \cos^2 2x \) из обеих частей: \( 0 = 2 \sin^2 2x \).
• Делим на 2: \( \sin^2 2x = 0 \).
• Извлекаем корень: \( \sin 2x = 0 \).
• Решаем частный случай: \( 2x = \pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \).
• Находим \( x \): \( x = \frac{\pi k}{2} \), где \( k \in \mathbb{Z} \).

Ответ: \( x = \frac{\pi k}{2}, \ k \in \mathbb{Z} \)

Пояснение: Сначала выражаем \( \cos^2 x \), затем извлекаем корень и получаем два простейших уравнения \( \cos x = a \).

Решение:

• Разделим на 4: \( \cos^2 x = \frac{3}{4} \).
• Извлекаем корень: \( \cos x = \pm \sqrt{\frac{3}{4}} = \pm \frac{\sqrt{3}}{2} \).
• Получаем два простейших уравнения:
  1. \( \cos x = \frac{\sqrt{3}}{2} \)
  2. \( \cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2} \)
• Решение первого: \( x = \pm \arccos \frac{\sqrt{3}}{2} + 2\pi k = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi k \), \( k \in \mathbb{Z} \).
• Решение второго: \( x = \pm \arccos \left( -\frac{\sqrt{3}}{2} \right) + 2\pi k = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi k \), \( k \in \mathbb{Z} \).
• Объединение решений: так как \( \pm \frac{\pi}{6} \) и \( \pm \frac{5\pi}{6} \) соответствуют четырем точкам на единичной окружности, которые находятся друг от друга на расстоянии \( \frac{\pi}{3} \) или \( \frac{2\pi}{3} \) и симметричны относительно осей, их можно записать как \( x = \frac{\pi}{6} + \pi n \) и \( x = -\frac{\pi}{6} + \pi n \) (точки, отличающиеся на \( \pi \)). Или более коротко: \( x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi n \), \( n \in \mathbb{Z} \).

Ответ: \( x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi n, \ n \in \mathbb{Z} \)

Пояснение: Используем основное тригонометрическое тождество \( \sin^2 x = 1 - \cos^2 x \) для приведения уравнения к виду, содержащему только \( \cos^2 x \).

Решение:

• Заменим \( \sin^2 x \) на \( 1 - \cos^2 x \): \( 3 \cos^2 x = 1 + 2 (1 - \cos^2 x) \).
• Раскрываем скобки: \( 3 \cos^2 x = 1 + 2 - 2 \cos^2 x \).
• Переносим \( -2 \cos^2 x \) в левую часть: \( 3 \cos^2 x + 2 \cos^2 x = 3 \).
• Упрощаем: \( 5 \cos^2 x = 3 \).
• Выражаем \( \cos^2 x \): \( \cos^2 x = \frac{3}{5} \).
• Извлекаем корень: \( \cos x = \pm \sqrt{\frac{3}{5}} = \pm \frac{\sqrt{15}}{5} \).
• Применяем общую формулу (объединение решений): \( x = \pm \arccos \left( \pm \frac{\sqrt{15}}{5} \right) + 2\pi k \).
• Краткая запись с учетом \( \pm \): \( x = \pm \arccos \left( \frac{\sqrt{15}}{5} \right) + \pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).

Ответ: \( x = \pm \arccos \frac{\sqrt{15}}{5} + \pi n, \ n \in \mathbb{Z} \)

Пояснение: Выражаем \( \cos^2 x \), а затем извлекаем корень. Обращаем внимание на то, что \( 1 + \sqrt{2} \approx 2.414 \) и \( 2\sqrt{2} \approx 2.828 \), поэтому \( \frac{1 + \sqrt{2}}{2\sqrt{2}} \in (0, 1) \).

Решение:

• Выражаем \( \cos^2 x \): \( \cos^2 x = \frac{1 + \sqrt{2}}{2\sqrt{2}} \).
• Упростим выражение: \( \frac{1 + \sqrt{2}}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2} (1 + \sqrt{2})}{2\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2} + 2}{4} \).
• Извлекаем корень: \( \cos x = \pm \sqrt{\frac{\sqrt{2} + 2}{4}} = \pm \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} \).
• Известно, что \( \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} = \cos \frac{\pi}{8} \) (формула понижения степени).
• Следовательно, \( \cos x = \pm \cos \frac{\pi}{8} \).
• Решение: \( x = \pm \arccos \left( \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} \right) + 2\pi k \) и \( x = \pm \arccos \left( -\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} \right) + 2\pi k \).
• Объединение решений: \( x = \pm \frac{\pi}{8} + \pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).

Ответ: \( x = \pm \frac{\pi}{8} + \pi n, \ n \in \mathbb{Z} \)

Пояснение: Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Приравниваем каждый множитель к нулю.

Решение:

• Приравниваем первый множитель к нулю: \( 1 + \cos x = 0 \implies \cos x = -1 \).
• Решаем частный случай: \( x = \pi + 2\pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \).
• Приравниваем второй множитель к нулю: \( 3 - 2 \cos x = 0 \implies 2 \cos x = 3 \implies \cos x = \frac{3}{2} = 1.5 \).
• Так как \( 1.5 > 1 \), второе уравнение \( \cos x = 1.5 \) не имеет решений.

Ответ: \( x = \pi + 2\pi k, \ k \in \mathbb{Z} \)

Пояснение: Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Приравниваем каждый множитель к нулю.

Решение:

• Приравниваем первый множитель к нулю: \( 1 - \cos x = 0 \implies \cos x = 1 \).
• Решаем частный случай: \( x = 2\pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \).
• Приравниваем второй множитель к нулю: \( 4 + 3 \cos 2x = 0 \implies 3 \cos 2x = -4 \implies \cos 2x = -\frac{4}{3} \).
• Так как \( -\frac{4}{3} \approx -1.33 \) и \( -1.33 < -1 \), второе уравнение \( \cos 2x = -\frac{4}{3} \) не имеет решений.

Ответ: \( x = 2\pi k, \ k \in \mathbb{Z} \)

Пояснение: Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Приравниваем каждый множитель к нулю.

Решение:

• Приравниваем первый множитель к нулю: \( 1 + 2 \cos x = 0 \implies 2 \cos x = -1 \implies \cos x = -\frac{1}{2} \).
• Решаем уравнение: \( x = \pm \arccos \left( -\frac{1}{2} \right) + 2\pi k = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \).
• Приравниваем второй множитель к нулю: \( 1 - 3 \cos x = 0 \implies 3 \cos x = 1 \implies \cos x = \frac{1}{3} \).
• Решаем уравнение: \( x = \pm \arccos \frac{1}{3} + 2\pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).

Ответ: \( x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k \) и \( x = \pm \arccos \frac{1}{3} + 2\pi n, \ k, n \in \mathbb{Z} \)

Пояснение: Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Приравниваем каждый множитель к нулю.

Решение:

• Приравниваем первый множитель к нулю: \( 1 - 2 \cos x = 0 \implies 2 \cos x = 1 \implies \cos x = \frac{1}{2} \).
• Решаем уравнение: \( x = \pm \arccos \frac{1}{2} + 2\pi k = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \).
• Приравниваем второй множитель к нулю: \( 2 + 3 \cos x = 0 \implies 3 \cos x = -2 \implies \cos x = -\frac{2}{3} \).
• Решаем уравнение: \( x = \pm \arccos \left( -\frac{2}{3} \right) + 2\pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).

Ответ: \( x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k \) и \( x = \pm \arccos \left( -\frac{2}{3} \right) + 2\pi n, \ k, n \in \mathbb{Z} \)