ГДЗ: Упражнение 708 - § 40 (Свойства функции y =cos x и её график) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)
Выяснить, при каких значениях \( x \), принадлежащих отрезку \( [0; 3\pi] \), функция \( y = \cos x \) принимает:
1)
значение, равное \( 0, 1, -1 \);
Ответ
Пояснение: Функция \( y = \cos x \) периодична с периодом \( 2\pi \). На отрезке \( [0; 2\pi] \) косинус принимает значения \( 0, 1, -1 \) в определённых точках. Отрезок \( [0; 3\pi] \) включает полный период \( [0; 2\pi] \) и дополнительный отрезок \( (2\pi; 3\pi] \).
Случай \( \cos x = 0 \):
На отрезке \( [0; 2\pi] \) решения: \( x = \frac{\pi}{2} \) и \( x = \frac{3\pi}{2} \).
На отрезке \( (2\pi; 3\pi] \) решений вида \( x = \frac{\pi}{2} + \pi n \) ищем для \( n = 2 \): \( x = \frac{\pi}{2} + 2\pi = \frac{5\pi}{2} \).
Ответ: \( x = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}, \frac{5\pi}{2} \).
Случай \( \cos x = 1 \):
На отрезке \( [0; 2\pi] \) решения: \( x = 0 \) и \( x = 2\pi \).
На отрезке \( (2\pi; 3\pi] \) решений вида \( x = 2\pi n \) нет, так как \( 2\pi \cdot 2 = 4\pi \notin [0; 3\pi] \).
Ответ: \( x = 0, 2\pi \).
Случай \( \cos x = -1 \):
На отрезке \( [0; 2\pi] \) решение: \( x = \pi \).
На отрезке \( (2\pi; 3\pi] \) решений вида \( x = \pi + 2\pi n \) нет, так как \( \pi + 2\pi \cdot 1 = 3\pi \) — единственное решение на границе, которое уже учтено. Подождите, \( 3\pi \) входит в отрезок. Решение \( x = 3\pi \) также является корнем, т.к. \( \cos(3\pi) = \cos(\pi + 2\pi) = \cos \pi = -1 \).
Ответ: \( x = \pi, 3\pi \).
2)
положительные значения;
Ответ
Пояснение: Функция \( y = \cos x \) принимает положительные значения (\( \cos x > 0 \)) в интервалах, где её график лежит выше оси абсцисс. Для косинуса это интервалы вида \( (-\frac{\pi}{2} + 2\pi n; \frac{\pi}{2} + 2\pi n) \), где \( n \in \mathbb{Z} \).
Найдём интервалы, входящие в \( [0; 3\pi] \):
Для \( n = 0 \): \( (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}) \). Пересечение с \( [0; 3\pi] \) даёт \( [0; \frac{\pi}{2}) \).
Для \( n = 1 \): \( (\frac{3\pi}{2}; \frac{5\pi}{2}) \). Пересечение с \( [0; 3\pi] \) даёт \( (\frac{3\pi}{2}; \frac{5\pi}{2}) \), так как \( \frac{5\pi}{2} = 2.5\pi \le 3\pi \).
Пояснение: Функция \( y = \cos x \) принимает отрицательные значения (\( \cos x < 0 \)) в интервалах, где её график лежит ниже оси абсцисс. Для косинуса это интервалы вида \( (\frac{\pi}{2} + 2\pi n; \frac{3\pi}{2} + 2\pi n) \), где \( n \in \mathbb{Z} \).
Найдём интервалы, входящие в \( [0; 3\pi] \):
Для \( n = 0 \): \( (\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}) \). Пересечение с \( [0; 3\pi] \) даёт \( (\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}) \).
Для \( n = 1 \): \( (\frac{5\pi}{2}; \frac{7\pi}{2}) \). Пересечение с \( [0; 3\pi] \) даёт \( (\frac{5\pi}{2}; 3\pi] \).
Область определения и множество значений функции косинус
Функция \( y = \cos x \) определена на всей числовой прямой, то есть область определения \( D(\cos x) = (-\infty; +\infty) \). Множество её значений (область значений) — отрезок \( [-1; 1] \).
\( -1 \le \cos x \le 1 \)
Периодичность функции косинус
Функция \( y = \cos x \) является периодической с основным периодом \( 2\pi \). Это означает, что для любого \( x \in \mathbb{R} \) и любого целого числа \( n \) справедливо равенство \( \cos(x + 2\pi n) = \cos x \).
\( \cos(x + 2\pi n) = \cos x, n \in \mathbb{Z} \)
Чётность функции косинус
Функция \( y = \cos x \) является чётной. Её график симметричен относительно оси Oy. Это означает, что для любого \( x \in \mathbb{R} \) справедливо равенство \( \cos(-x) = \cos x \).
\( \cos(-x) = \cos x \)
Монотонность функции косинус
Функция \( y = \cos x \) убывает на отрезках вида \( [2\pi n; \pi + 2\pi n] \) и возрастает на отрезках вида \( [-\pi + 2\pi n; 2\pi n] \), где \( n \in \mathbb{Z} \).
Формулы приведения для синуса
Формулы, позволяющие привести синус к косинусу или наоборот. В упражнении используется \( \sin(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \cos \alpha \) и \( \sin(\frac{\pi}{2} + \alpha) = \cos \alpha \). В общем виде, если угол отличается от \( \frac{\pi}{2} \) или \( \frac{3\pi}{2} \) на \( \alpha \), функция меняется на кофункцию.
Создать проектГотовый файл Word. Оплата после того, как увидите работу.
Уведомление об авторском праве и цитировании
ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов
используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме,
оправданном поставленной целью.
Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве
(в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).
В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования
указаны для каждого используемого фрагмента.
