ГДЗ: Упражнение 715 - § 40 (Свойства функции y =cos x и её график) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)
Найти все корни уравнения, принадлежащие отрезку \( [-\pi; \frac{3\pi}{2}] \):
1)
\( \cos 2x = \frac{1}{2} \);
Ответ
Пояснение: Общее решение уравнения \( \cos 2x = \frac{1}{2} \) имеет вид \( 2x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n \), откуда \( x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).
Ищем корни на отрезке \( [-\pi; \frac{3\pi}{2}] \):
Для \( x = \frac{\pi}{6} + \pi n \):
При \( n = -1 \): \( x = \frac{\pi}{6} - \pi = -\frac{5\pi}{6} \) (\( -\pi < -\frac{5\pi}{6} < 0 \), входит).
При \( n = 0 \): \( x = \frac{\pi}{6} \) (входит).
При \( n = 1 \): \( x = \frac{\pi}{6} + \pi = \frac{7\pi}{6} \) (\( \frac{7\pi}{6} < \frac{3\pi}{2} = \frac{9\pi}{6} \), входит).
При \( n = 2 \): \( x = \frac{\pi}{6} + 2\pi \) (не входит).
Для \( x = -\frac{\pi}{6} + \pi n \):
При \( n = 0 \): \( x = -\frac{\pi}{6} \) (входит).
При \( n = 1 \): \( x = -\frac{\pi}{6} + \pi = \frac{5\pi}{6} \) (входит).
При \( n = 2 \): \( x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi = \frac{11\pi}{6} \) (не входит, так как \( \frac{11\pi}{6} > \frac{3\pi}{2} \)).
При \( n = -1 \): \( x = -\frac{\pi}{6} - \pi = -\frac{7\pi}{6} \) (не входит, так как \( -\frac{7\pi}{6} < -\pi \)).
Пояснение: Общее решение уравнения \( \cos 3x = \frac{\sqrt{3}}{2} \) имеет вид \( 3x = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi n \), откуда \( x = \pm \frac{\pi}{18} + \frac{2\pi n}{3} \), где \( n \in \mathbb{Z} \).
Ищем корни на отрезке \( [-\pi; \frac{3\pi}{2}] \):
Для \( x = \frac{\pi}{18} + \frac{2\pi n}{3} \):
При \( n = -2 \): \( x = \frac{\pi}{18} - \frac{4\pi}{3} = \frac{\pi - 24\pi}{18} = -\frac{23\pi}{18} \) (не входит, так как \( -\frac{23\pi}{18} < -\pi \)).
При \( n = -1 \): \( x = \frac{\pi}{18} - \frac{2\pi}{3} = \frac{\pi - 12\pi}{18} = -\frac{11\pi}{18} \) (входит).
При \( n = 0 \): \( x = \frac{\pi}{18} \) (входит).
При \( n = 1 \): \( x = \frac{\pi}{18} + \frac{2\pi}{3} = \frac{\pi + 12\pi}{18} = \frac{13\pi}{18} \) (входит).
При \( n = 2 \): \( x = \frac{\pi}{18} + \frac{4\pi}{3} = \frac{\pi + 24\pi}{18} = \frac{25\pi}{18} \) (\( \frac{25\pi}{18} < \frac{3\pi}{2} = \frac{27\pi}{18} \), входит).
При \( n = 3 \): \( x = \frac{\pi}{18} + 2\pi \) (не входит).
Для \( x = -\frac{\pi}{18} + \frac{2\pi n}{3} \):
При \( n = 0 \): \( x = -\frac{\pi}{18} \) (входит).
При \( n = 1 \): \( x = -\frac{\pi}{18} + \frac{2\pi}{3} = \frac{- \pi + 12\pi}{18} = \frac{11\pi}{18} \) (входит).
При \( n = 2 \): \( x = -\frac{\pi}{18} + \frac{4\pi}{3} = \frac{- \pi + 24\pi}{18} = \frac{23\pi}{18} \) (\( \frac{23\pi}{18} < \frac{3\pi}{2} \), входит).
При \( n = -1 \): \( x = -\frac{\pi}{18} - \frac{2\pi}{3} = -\frac{13\pi}{18} \) (входит).
Область определения и множество значений функции косинус
Функция \( y = \cos x \) определена на всей числовой прямой, то есть область определения \( D(\cos x) = (-\infty; +\infty) \). Множество её значений (область значений) — отрезок \( [-1; 1] \).
\( -1 \le \cos x \le 1 \)
Периодичность функции косинус
Функция \( y = \cos x \) является периодической с основным периодом \( 2\pi \). Это означает, что для любого \( x \in \mathbb{R} \) и любого целого числа \( n \) справедливо равенство \( \cos(x + 2\pi n) = \cos x \).
\( \cos(x + 2\pi n) = \cos x, n \in \mathbb{Z} \)
Чётность функции косинус
Функция \( y = \cos x \) является чётной. Её график симметричен относительно оси Oy. Это означает, что для любого \( x \in \mathbb{R} \) справедливо равенство \( \cos(-x) = \cos x \).
\( \cos(-x) = \cos x \)
Монотонность функции косинус
Функция \( y = \cos x \) убывает на отрезках вида \( [2\pi n; \pi + 2\pi n] \) и возрастает на отрезках вида \( [-\pi + 2\pi n; 2\pi n] \), где \( n \in \mathbb{Z} \).
Формулы приведения для синуса
Формулы, позволяющие привести синус к косинусу или наоборот. В упражнении используется \( \sin(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \cos \alpha \) и \( \sin(\frac{\pi}{2} + \alpha) = \cos \alpha \). В общем виде, если угол отличается от \( \frac{\pi}{2} \) или \( \frac{3\pi}{2} \) на \( \alpha \), функция меняется на кофункцию.
Создать проектГотовый файл Word. Оплата после того, как увидите работу.
Уведомление об авторском праве и цитировании
ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов
используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме,
оправданном поставленной целью.
Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве
(в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).
В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования
указаны для каждого используемого фрагмента.
