ГДЗ: Упражнение 717 - § 40 (Свойства функции y =cos x и её график) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Пояснение: График функции \( y = 1 + \cos x \) получается из графика \( y = \cos x \) сдвигом на 1 единицу вверх по оси Oy.

• Область определения: \( D(y) = \mathbb{R} \) (так как \( \cos x \) определен везде).
• Множество значений: \( E(y) = [1 - 1; 1 + 1] = [0; 2] \) (так как \( -1 \le \cos x \le 1 \)).
• Чётность: \( y(-x) = 1 + \cos(-x) = 1 + \cos x = y(x) \). Функция чётная.
• Периодичность: Функция периодическая с периодом \( 2\pi \).
• Нули функции: \( 1 + \cos x = 0 \implies \cos x = -1 \). Нули: \( x = \pi + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} \).
• Промежутки знакопостоянства: \( y \ge 0 \) для всех \( x \), так как \( \cos x \ge -1 \).
• Монотонность:
  • Убывает: \( [2\pi n; \pi + 2\pi n] \).
  • Возрастает: \( [-\pi + 2\pi n; 2\pi n] \).
• Экстремумы:
  • Максимум: \( y_{max} = 2 \) при \( \cos x = 1 \), то есть \( x = 2\pi n \).
  • Минимум: \( y_{min} = 0 \) при \( \cos x = -1 \), то есть \( x = \pi + 2\pi n \).

Пояснение: График функции \( y = 2 \cos x \) получается из графика \( y = \cos x \) растяжением от оси Ox в 2 раза (увеличение амплитуды).

• Область определения: \( D(y) = \mathbb{R} \).
• Множество значений: \( E(y) = [-2; 2] \) (так как \( -1 \le \cos x \le 1 \)).
• Чётность: \( y(-x) = 2 \cos(-x) = 2 \cos x = y(x) \). Функция чётная.
• Периодичность: Функция периодическая с периодом \( 2\pi \).
• Нули функции: \( 2 \cos x = 0 \implies \cos x = 0 \). Нули: \( x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z} \).
• Промежутки знакопостоянства:
  • \( y > 0 \): \( (-\frac{\pi}{2} + 2\pi n; \frac{\pi}{2} + 2\pi n) \).
  • \( y < 0 \): \( (\frac{\pi}{2} + 2\pi n; \frac{3\pi}{2} + 2\pi n) \).
• Монотонность:
  • Убывает: \( [2\pi n; \pi + 2\pi n] \).
  • Возрастает: \( [-\pi + 2\pi n; 2\pi n] \).
• Экстремумы:
  • Максимум: \( y_{max} = 2 \) при \( \cos x = 1 \), то есть \( x = 2\pi n \).
  • Минимум: \( y_{min} = -2 \) при \( \cos x = -1 \), то есть \( x = \pi + 2\pi n \).

Пояснение: График функции \( y = \cos 3x \) получается из графика \( y = \cos x \) сжатием к оси Oy в 3 раза (уменьшение периода).

• Область определения: \( D(y) = \mathbb{R} \).
• Множество значений: \( E(y) = [-1; 1] \).
• Чётность: \( y(-x) = \cos (3(-x)) = \cos(-3x) = \cos 3x = y(x) \). Функция чётная.
• Периодичность: Функция периодическая с периодом \( T = \frac{2\pi}{3} \).
• Нули функции: \( \cos 3x = 0 \implies 3x = \frac{\pi}{2} + \pi n \). Нули: \( x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z} \).
• Промежутки знакопостоянства:
  • \( y > 0 \): \( (-\frac{\pi}{6} + \frac{2\pi n}{3}; \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi n}{3}) \).
  • \( y < 0 \): \( (\frac{\pi}{6} + \frac{2\pi n}{3}; \frac{\pi}{2} + \frac{2\pi n}{3}) \).
• Монотонность:
  • Убывает: \( [\frac{2\pi n}{3}; \frac{\pi}{3} + \frac{2\pi n}{3}] \).
  • Возрастает: \( [-\frac{\pi}{3} + \frac{2\pi n}{3}; \frac{2\pi n}{3}] \).
• Экстремумы:
  • Максимум: \( y_{max} = 1 \) при \( \cos 3x = 1 \), то есть \( 3x = 2\pi n \), или \( x = \frac{2\pi n}{3} \).
  • Минимум: \( y_{min} = -1 \) при \( \cos 3x = -1 \), то есть \( 3x = \pi + 2\pi n \), или \( x = \frac{\pi}{3} + \frac{2\pi n}{3} \).