ГДЗ: Упражнение 710 - Параграф § 40 (Свойства функции y =cos x и её график) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

710 упражнение:

Разбить данный отрезок на два отрезка так, чтобы на одном из них функция \( y = \cos x \) возрастала, а на другом убывала:

1) \( [\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}] \);

Ответ

Пояснение: На отрезке \( [0; \pi] \) функция \( y = \cos x \) убывает. На отрезке \( [\pi; 2\pi] \) функция \( y = \cos x \) возрастает. Точка \( x = \pi \) является точкой минимума, где функция меняет убывание на возрастание. Она делит заданный отрезок на два.

Убывание: \( [\frac{\pi}{2}; \pi] \) (часть \( [0; \pi] \)).
Возрастание: \( [\pi; \frac{3\pi}{2}] \) (часть \( [\pi; 2\pi] \)).

Ответ: \( [\frac{\pi}{2}; \pi] \) (убывает) и \( [\pi; \frac{3\pi}{2}] \) (возрастает).

2) \( [-\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}] \);

Ответ

Пояснение: Заданный отрезок содержит две точки смены монотонности: \( x = 0 \) (максимум) и \( x = \pi \) (минимум). Для разбиения на два отрезка, удовлетворяющих условию, необходимо выбрать одну из них.

Вариант 1 (точка \( x = 0 \)):
- Возрастание: \( [-\frac{\pi}{2}; 0] \) (часть \( [-\pi; 0] \)).
- Убывание: \( [0; \frac{3\pi}{2}] \) (часть \( [0; 2\pi] \)).
Вариант 2 (точка \( x = \pi \)):
- Убывание: \( [-\frac{\pi}{2}; \pi] \) (часть \( [-\frac{\pi}{2}; 2\pi] \)). На этом отрезке есть максимум в \( x=0 \), поэтому на самом деле функция не убывает. Это разбиение не подходит.

Ответ: Разбиение \( [-\frac{\pi}{2}; 0] \) (возрастает) и \( [0; \frac{3\pi}{2}] \) (убывает).

3) \( [0; \frac{3\pi}{2}] \);

Ответ

Пояснение: Точка \( x = \pi \) является точкой минимума, где функция меняет убывание на возрастание. Она делит заданный отрезок на два.

Убывание: \( [0; \pi] \) (часть \( [0; \pi] \)).
Возрастание: \( [\pi; \frac{3\pi}{2}] \) (часть \( [\pi; 2\pi] \)).

Ответ: \( [0; \pi] \) (убывает) и \( [\pi; \frac{3\pi}{2}] \) (возрастает).

4) \( [-\pi; \frac{\pi}{2}] \).

Ответ

Пояснение: Точка \( x = 0 \) является точкой максимума, где функция меняет возрастание на убывание. Она делит заданный отрезок на два.

Возрастание: \( [-\pi; 0] \).
Убывание: \( [0; \frac{\pi}{2}] \) (часть \( [0; \pi] \)).

Ответ: \( [-\pi; 0] \) (возрастает) и \( [0; \frac{\pi}{2}] \) (убывает).

Что применять при решении

Область определения и множество значений функции косинус

Функция \( y = \cos x \) определена на всей числовой прямой, то есть область определения \( D(\cos x) = (-\infty; +\infty) \). Множество её значений (область значений) — отрезок \( [-1; 1] \).

\( -1 \le \cos x \le 1 \)

Периодичность функции косинус

Функция \( y = \cos x \) является периодической с основным периодом \( 2\pi \). Это означает, что для любого \( x \in \mathbb{R} \) и любого целого числа \( n \) справедливо равенство \( \cos(x + 2\pi n) = \cos x \).

\( \cos(x + 2\pi n) = \cos x, n \in \mathbb{Z} \)

Чётность функции косинус

Функция \( y = \cos x \) является чётной. Её график симметричен относительно оси Oy. Это означает, что для любого \( x \in \mathbb{R} \) справедливо равенство \( \cos(-x) = \cos x \).

\( \cos(-x) = \cos x \)

Монотонность функции косинус

Функция \( y = \cos x \) убывает на отрезках вида \( [2\pi n; \pi + 2\pi n] \) и возрастает на отрезках вида \( [-\pi + 2\pi n; 2\pi n] \), где \( n \in \mathbb{Z} \).

Формулы приведения для синуса

Формулы, позволяющие привести синус к косинусу или наоборот. В упражнении используется \( \sin(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \cos \alpha \) и \( \sin(\frac{\pi}{2} + \alpha) = \cos \alpha \). В общем виде, если угол отличается от \( \frac{\pi}{2} \) или \( \frac{3\pi}{2} \) на \( \alpha \), функция меняется на кофункцию.

\( \sin(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \cos \alpha, \sin(\frac{\pi}{2} + \alpha) = \cos \alpha \)

Другие упражнения из параграфа § 40

708 709 710 711 712 713 714 715 716 717 718 719

Данные параграфа

К параграфу →

Глава: Глава 7
Параграф: § 40 — Свойства функции y =cos x и её график
Учебник: Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы
Автор: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год: 2025

Уведомление об авторском праве и цитировании

ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.