ГДЗ: Упражнение 709 - § 40 (Свойства функции y =cos x и её график) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)
Выяснить, возрастает или убывает функция \( y = \cos x \) на отрезке:
1)
\( [3\pi; 4\pi] \);
Ответ
Пояснение: Функция \( y = \cos x \) возрастает на отрезках вида \( [-\pi + 2\pi n; 2\pi n] \) и убывает на отрезках вида \( [2\pi n; \pi + 2\pi n] \).
Представим отрезок \( [3\pi; 4\pi] \) в виде \( [\pi + 2\pi \cdot 1; 2\pi + 2\pi \cdot 1] \) или \( [2\pi + \pi; 4\pi] \).
Отрезок \( [3\pi; 4\pi] \) можно перенести на \( -2\pi \), получим \( [\pi; 2\pi] \).
На основном отрезке \( [\pi; 2\pi] \), который является частью \( [\pi; 3\pi] \) (промежуток возрастания), функция возрастает. Также этот отрезок можно представить как \( [\pi + 2\pi n; 2\pi + 2\pi n] \) при \( n = 1 \).
Ответ: Функция \( y = \cos x \) возрастает на отрезке \( [3\pi; 4\pi] \), так как он совпадает по характеру монотонности с отрезком \( [\pi; 2\pi] \) (сдвиг на \( 2\pi \)).
2)
\( [-2\pi; -\pi] \);
Ответ
Пояснение: Функция \( y = \cos x \) возрастает на отрезках вида \( [-\pi + 2\pi n; 2\pi n] \) и убывает на отрезках вида \( [2\pi n; \pi + 2\pi n] \).
Представим отрезок \( [-2\pi; -\pi] \) в виде \( [2\pi \cdot (-1); \pi + 2\pi \cdot (-1)] \).
Он соответствует отрезку убывания \( [2\pi n; \pi + 2\pi n] \) при \( n = -1 \).
Отрезок \( [-2\pi; -\pi] \) можно перенести на \( +2\pi \), получим \( [0; \pi] \). На основном отрезке \( [0; \pi] \) функция убывает.
Ответ: Функция \( y = \cos x \) убывает на отрезке \( [-2\pi; -\pi] \).
3)
\( [2\pi; \frac{5\pi}{2}] \);
Ответ
Пояснение: Функция \( y = \cos x \) убывает на отрезке \( [2\pi n; \pi + 2\pi n] \).
Отрезок \( [2\pi; \frac{5\pi}{2}] \) является частью отрезка \( [2\pi; \pi + 2\pi] = [2\pi; 3\pi] \) (при \( n = 1 \)).
На основном отрезке \( [0; \pi] \) функция убывает. Отрезок \( [2\pi; 3\pi] \) — это сдвиг \( [0; \pi] \) на \( 2\pi \), значит, функция также убывает.
Так как \( [2\pi; \frac{5\pi}{2}] \subset [2\pi; 3\pi] \), функция убывает.
Ответ: Функция \( y = \cos x \) убывает на отрезке \( [2\pi; \frac{5\pi}{2}] \).
4)
\( [-\frac{\pi}{2}; 0] \);
Ответ
Пояснение: Функция \( y = \cos x \) возрастает на отрезке \( [-\pi + 2\pi n; 2\pi n] \).
Отрезок \( [-\frac{\pi}{2}; 0] \) является частью отрезка \( [-\pi; 0] \) (при \( n = 0 \)).
На основном отрезке \( [-\pi; 0] \) функция возрастает.
Ответ: Функция \( y = \cos x \) возрастает на отрезке \( [-\frac{\pi}{2}; 0] \).
5)
\( [1; 3] \);
Ответ
Пояснение: Приблизительно: \( 1 \approx 57.3^{\circ}, 3 \approx 171.9^{\circ} \). Угол \( 1 \) радиан и \( 3 \) радиана лежат в первой и второй четверти соответственно. Отрезок \( [1; 3] \) полностью содержится в основном отрезке убывания \( [0; \pi] \), так как \( 0 < 1 < 3 < \pi \approx 3.14 \).
Ответ: Функция \( y = \cos x \) убывает на отрезке \( [1; 3] \).
6)
\( [-2; -1] \).
Ответ
Пояснение: Приблизительно: \( -2 \approx -114.6^{\circ}, -1 \approx -57.3^{\circ} \). Оба угла лежат в четвёртой четверти. Отрезок \( [-2; -1] \) полностью содержится в основном отрезке возрастания \( [-\pi; 0] \), так как \( -\pi \approx -3.14 < -2 < -1 < 0 \).
Ответ: Функция \( y = \cos x \) возрастает на отрезке \( [-2; -1] \).
Что применять при решении
Область определения и множество значений функции косинус
Функция \( y = \cos x \) определена на всей числовой прямой, то есть область определения \( D(\cos x) = (-\infty; +\infty) \). Множество её значений (область значений) — отрезок \( [-1; 1] \).
\( -1 \le \cos x \le 1 \)
Периодичность функции косинус
Функция \( y = \cos x \) является периодической с основным периодом \( 2\pi \). Это означает, что для любого \( x \in \mathbb{R} \) и любого целого числа \( n \) справедливо равенство \( \cos(x + 2\pi n) = \cos x \).
\( \cos(x + 2\pi n) = \cos x, n \in \mathbb{Z} \)
Чётность функции косинус
Функция \( y = \cos x \) является чётной. Её график симметричен относительно оси Oy. Это означает, что для любого \( x \in \mathbb{R} \) справедливо равенство \( \cos(-x) = \cos x \).
\( \cos(-x) = \cos x \)
Монотонность функции косинус
Функция \( y = \cos x \) убывает на отрезках вида \( [2\pi n; \pi + 2\pi n] \) и возрастает на отрезках вида \( [-\pi + 2\pi n; 2\pi n] \), где \( n \in \mathbb{Z} \).
Формулы приведения для синуса
Формулы, позволяющие привести синус к косинусу или наоборот. В упражнении используется \( \sin(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \cos \alpha \) и \( \sin(\frac{\pi}{2} + \alpha) = \cos \alpha \). В общем виде, если угол отличается от \( \frac{\pi}{2} \) или \( \frac{3\pi}{2} \) на \( \alpha \), функция меняется на кофункцию.
Создать проектГотовый файл Word. Оплата после того, как увидите работу.
Уведомление об авторском праве и цитировании
ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов
используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме,
оправданном поставленной целью.
Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве
(в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).
В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования
указаны для каждого используемого фрагмента.
