ГДЗ: Упражнение 713 - § 40 (Свойства функции y =cos x и её график) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)
Найти все решения неравенства, принадлежащие отрезку \( [0; 3\pi] \):
1)
\( \cos x > \frac{1}{2} \);
Ответ
Пояснение: Неравенство \( \cos x > \frac{1}{2} \) выполняется, когда угол \( x \) находится в интервалах \( (-\frac{\pi}{3} + 2\pi n; \frac{\pi}{3} + 2\pi n) \), где \( n \in \mathbb{Z} \).
Ищем интервалы, входящие в \( [0; 3\pi] \):
При \( n = 0 \): \( (-\frac{\pi}{3}; \frac{\pi}{3}) \). Пересечение с \( [0; 3\pi] \) даёт \( [0; \frac{\pi}{3}) \).
При \( n = 1 \): \( (\frac{5\pi}{3}; \frac{7\pi}{3}) \). Пересечение с \( [0; 3\pi] \) даёт \( (\frac{5\pi}{3}; \frac{7\pi}{3}) \), так как \( \frac{7\pi}{3} = 2\pi + \frac{\pi}{3} < 3\pi \).
При \( n = 2 \): \( (\frac{11\pi}{3}; \frac{13\pi}{3}) \). Пересечение с \( [0; 3\pi] \) пусто.
Пояснение: Неравенство \( \cos x \ge -\frac{1}{2} \) выполняется, когда угол \( x \) находится в отрезках \( [-\frac{2\pi}{3} + 2\pi n; \frac{2\pi}{3} + 2\pi n] \), где \( n \in \mathbb{Z} \).
Ищем отрезки, входящие в \( [0; 3\pi] \):
При \( n = 0 \): \( [-\frac{2\pi}{3}; \frac{2\pi}{3}] \). Пересечение с \( [0; 3\pi] \) даёт \( [0; \frac{2\pi}{3}] \).
При \( n = 1 \): \( [-\frac{2\pi}{3} + 2\pi; \frac{2\pi}{3} + 2\pi] = [\frac{4\pi}{3}; \frac{8\pi}{3}] \). Пересечение с \( [0; 3\pi] \) даёт \( [\frac{4\pi}{3}; \frac{8\pi}{3}] \), так как \( \frac{8\pi}{3} < 3\pi \).
При \( n = 2 \): \( [-\frac{2\pi}{3} + 4\pi; \frac{2\pi}{3} + 4\pi] = [\frac{10\pi}{3}; \frac{14\pi}{3}] \). Пересечение с \( [0; 3\pi] \) пусто.
Пояснение: Неравенство \( \cos x < -\frac{\sqrt{2}}{2} \) выполняется, когда угол \( x \) находится в интервалах \( (\frac{3\pi}{4} + 2\pi n; \frac{5\pi}{4} + 2\pi n) \), где \( n \in \mathbb{Z} \).
Ищем интервалы, входящие в \( [0; 3\pi] \):
При \( n = 0 \): \( (\frac{3\pi}{4}; \frac{5\pi}{4}) \). Пересечение с \( [0; 3\pi] \) даёт \( (\frac{3\pi}{4}; \frac{5\pi}{4}) \).
При \( n = 1 \): \( (\frac{3\pi}{4} + 2\pi; \frac{5\pi}{4} + 2\pi) = (\frac{11\pi}{4}; \frac{13\pi}{4}) \). Пересечение с \( [0; 3\pi] \) даёт \( (\frac{11\pi}{4}; 3\pi] \), так как \( 3\pi = \frac{12\pi}{4} \).
Пояснение: Неравенство \( \cos x < \frac{\sqrt{3}}{2} \) выполняется, когда угол \( x \) находится в интервалах \( (\frac{\pi}{6} + 2\pi n; \frac{11\pi}{6} + 2\pi n) \), где \( n \in \mathbb{Z} \).
Ищем интервалы, входящие в \( [0; 3\pi] \):
При \( n = 0 \): \( (\frac{\pi}{6}; \frac{11\pi}{6}) \). Пересечение с \( [0; 3\pi] \) даёт \( (\frac{\pi}{6}; \frac{11\pi}{6}) \).
При \( n = 1 \): \( (\frac{13\pi}{6}; \frac{23\pi}{6}) \). Пересечение с \( [0; 3\pi] \) даёт \( (\frac{13\pi}{6}; 3\pi] \), так как \( \frac{13\pi}{6} = 2\pi + \frac{\pi}{6} \) и \( 3\pi = \frac{18\pi}{6} \).
Необходимо учесть начало отрезка \( [0; 3\pi] \). При \( x = 0 \) имеем \( \cos 0 = 1 \). Так как \( 1 > \frac{\sqrt{3}}{2} \), то начало отрезка не входит в решение. В решении учтено, что нижняя граница первого интервала \( \frac{\pi}{6} \) больше нуля.
Область определения и множество значений функции косинус
Функция \( y = \cos x \) определена на всей числовой прямой, то есть область определения \( D(\cos x) = (-\infty; +\infty) \). Множество её значений (область значений) — отрезок \( [-1; 1] \).
\( -1 \le \cos x \le 1 \)
Периодичность функции косинус
Функция \( y = \cos x \) является периодической с основным периодом \( 2\pi \). Это означает, что для любого \( x \in \mathbb{R} \) и любого целого числа \( n \) справедливо равенство \( \cos(x + 2\pi n) = \cos x \).
\( \cos(x + 2\pi n) = \cos x, n \in \mathbb{Z} \)
Чётность функции косинус
Функция \( y = \cos x \) является чётной. Её график симметричен относительно оси Oy. Это означает, что для любого \( x \in \mathbb{R} \) справедливо равенство \( \cos(-x) = \cos x \).
\( \cos(-x) = \cos x \)
Монотонность функции косинус
Функция \( y = \cos x \) убывает на отрезках вида \( [2\pi n; \pi + 2\pi n] \) и возрастает на отрезках вида \( [-\pi + 2\pi n; 2\pi n] \), где \( n \in \mathbb{Z} \).
Формулы приведения для синуса
Формулы, позволяющие привести синус к косинусу или наоборот. В упражнении используется \( \sin(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \cos \alpha \) и \( \sin(\frac{\pi}{2} + \alpha) = \cos \alpha \). В общем виде, если угол отличается от \( \frac{\pi}{2} \) или \( \frac{3\pi}{2} \) на \( \alpha \), функция меняется на кофункцию.
Создать проектГотовый файл Word. Оплата после того, как увидите работу.
Уведомление об авторском праве и цитировании
ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов
используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме,
оправданном поставленной целью.
Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве
(в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).
В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования
указаны для каждого используемого фрагмента.
