ГДЗ: Упражнение 712 - § 40 (Свойства функции y =cos x и её график) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)
Пояснение: Общее решение уравнения \( \cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2} \) имеет вид \( x = \pm (\pi - \frac{\pi}{4}) + 2\pi n = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).
Ищем корни на отрезке \( [0; 3\pi] \):
Для \( x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n \):
При \( n = 0 \): \( x = \frac{3\pi}{4} \) (входит).
При \( n = 1 \): \( x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi = \frac{11\pi}{4} \) (\( \frac{11\pi}{4} = 2\pi + \frac{3\pi}{4} \). Так как \( 3\pi = \frac{12\pi}{4} \), то \( \frac{11\pi}{4} < 3\pi \), входит).
Для \( x = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi n \):
При \( n = 1 \): \( x = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi = \frac{5\pi}{4} \) (входит).
При \( n = 2 \): \( x = -\frac{3\pi}{4} + 4\pi = \frac{13\pi}{4} \) (не входит).
Пояснение: Общее решение уравнения \( \cos x = -\frac{1}{2} \) имеет вид \( x = \pm (\pi - \frac{\pi}{3}) + 2\pi n = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).
Ищем корни на отрезке \( [0; 3\pi] \):
Для \( x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n \):
При \( n = 0 \): \( x = \frac{2\pi}{3} \) (входит).
При \( n = 1 \): \( x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi = \frac{8\pi}{3} \) (\( \frac{8\pi}{3} < 3\pi = \frac{9\pi}{3} \), входит).
Для \( x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi n \):
При \( n = 1 \): \( x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi = \frac{4\pi}{3} \) (входит).
При \( n = 2 \): \( x = -\frac{2\pi}{3} + 4\pi = \frac{10\pi}{3} \) (не входит).
Область определения и множество значений функции косинус
Функция \( y = \cos x \) определена на всей числовой прямой, то есть область определения \( D(\cos x) = (-\infty; +\infty) \). Множество её значений (область значений) — отрезок \( [-1; 1] \).
\( -1 \le \cos x \le 1 \)
Периодичность функции косинус
Функция \( y = \cos x \) является периодической с основным периодом \( 2\pi \). Это означает, что для любого \( x \in \mathbb{R} \) и любого целого числа \( n \) справедливо равенство \( \cos(x + 2\pi n) = \cos x \).
\( \cos(x + 2\pi n) = \cos x, n \in \mathbb{Z} \)
Чётность функции косинус
Функция \( y = \cos x \) является чётной. Её график симметричен относительно оси Oy. Это означает, что для любого \( x \in \mathbb{R} \) справедливо равенство \( \cos(-x) = \cos x \).
\( \cos(-x) = \cos x \)
Монотонность функции косинус
Функция \( y = \cos x \) убывает на отрезках вида \( [2\pi n; \pi + 2\pi n] \) и возрастает на отрезках вида \( [-\pi + 2\pi n; 2\pi n] \), где \( n \in \mathbb{Z} \).
Формулы приведения для синуса
Формулы, позволяющие привести синус к косинусу или наоборот. В упражнении используется \( \sin(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \cos \alpha \) и \( \sin(\frac{\pi}{2} + \alpha) = \cos \alpha \). В общем виде, если угол отличается от \( \frac{\pi}{2} \) или \( \frac{3\pi}{2} \) на \( \alpha \), функция меняется на кофункцию.
Создать проектГотовый файл Word. Оплата после того, как увидите работу.
Уведомление об авторском праве и цитировании
ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов
используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме,
оправданном поставленной целью.
Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве
(в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).
В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования
указаны для каждого используемого фрагмента.
