ГДЗ: Упражнение 719 - § 40 (Свойства функции y =cos x и её график) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)
Пояснение: График функции \( y = \cos x \) — это косинусоида. Он симметричен относительно оси Oy и периодичен с периодом \( 2\pi \). Множество значений \([-1; 1]\). Основные точки: \( (0; 1) \), \( (\frac{\pi}{2}; 0) \), \( (\pi; -1) \), \( (\frac{3\pi}{2}; 0) \), \( (2\pi; 1) \).
2)
\( y = 3 - 2 \cos (x - 1) \).
Ответ
Пояснение: График функции \( y = 3 - 2 \cos (x - 1) \) получается из \( y = \cos x \) следующими преобразованиями:
Сдвиг по оси Ox: Сдвиг на 1 единицу вправо (из-за \( x - 1 \)).
Растяжение по оси Oy: Растяжение в 2 раза от оси Ox (из-за \( 2 \)).
Симметричное отображение: Отражение относительно оси Ox (из-за \( -2 \)).
Сдвиг по оси Oy: Сдвиг на 3 единицы вверх (из-за \( +3 \)).
Множество значений: Так как \( -1 \le \cos (x-1) \le 1 \), то \( -2 \le -2 \cos (x-1) \le 2 \). Тогда \( 3 - 2 \le 3 - 2 \cos (x - 1) \le 3 + 2 \), то есть \( E(y) = [1; 5] \).
Период: \( T = 2\pi \).
Что применять при решении
Область определения и множество значений функции косинус
Функция \( y = \cos x \) определена на всей числовой прямой, то есть область определения \( D(\cos x) = (-\infty; +\infty) \). Множество её значений (область значений) — отрезок \( [-1; 1] \).
\( -1 \le \cos x \le 1 \)
Периодичность функции косинус
Функция \( y = \cos x \) является периодической с основным периодом \( 2\pi \). Это означает, что для любого \( x \in \mathbb{R} \) и любого целого числа \( n \) справедливо равенство \( \cos(x + 2\pi n) = \cos x \).
\( \cos(x + 2\pi n) = \cos x, n \in \mathbb{Z} \)
Чётность функции косинус
Функция \( y = \cos x \) является чётной. Её график симметричен относительно оси Oy. Это означает, что для любого \( x \in \mathbb{R} \) справедливо равенство \( \cos(-x) = \cos x \).
\( \cos(-x) = \cos x \)
Монотонность функции косинус
Функция \( y = \cos x \) убывает на отрезках вида \( [2\pi n; \pi + 2\pi n] \) и возрастает на отрезках вида \( [-\pi + 2\pi n; 2\pi n] \), где \( n \in \mathbb{Z} \).
Формулы приведения для синуса
Формулы, позволяющие привести синус к косинусу или наоборот. В упражнении используется \( \sin(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \cos \alpha \) и \( \sin(\frac{\pi}{2} + \alpha) = \cos \alpha \). В общем виде, если угол отличается от \( \frac{\pi}{2} \) или \( \frac{3\pi}{2} \) на \( \alpha \), функция меняется на кофункцию.
Создать проектГотовый файл Word. Оплата после того, как увидите работу.
Уведомление об авторском праве и цитировании
ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов
используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме,
оправданном поставленной целью.
Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве
(в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).
В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования
указаны для каждого используемого фрагмента.
