ГДЗ: Упражнение 734 - § 42 (Свойства функции y = tg x и её график) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Пояснение: Функция \( y = \text{tg}\, x \) является возрастающей на любом интервале, входящем в ее область определения, т.е. на интервалах вида \( \left( -\frac{\pi}{2} + \pi n; \frac{\pi}{2} + \pi n \right), \quad n \in \mathbb{Z} \).

Промежуток \( \left[ \frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{3} \right] \) полностью содержится в интервале \( \left( -\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2} \right) \) (при \( n = 0 \)), так как \( -\frac{\pi}{2} < \frac{\pi}{4} < \frac{\pi}{3} < \frac{\pi}{2} \).

Вывод: На данном промежутке функция является возрастающей.

Ответ: Да.

Пояснение: Функция \( y = \text{tg}\, x \) не определена в точке \( x = \frac{\pi}{2} + \pi n \). В данном промежутке \( \left( \frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2} \right] \) содержится точка \( x = \pi \) (при \( n = 1 \)), а также точка разрыва \( x = \frac{3\pi}{2} \) не включена в область определения (она равна \( \frac{\pi}{2} + \pi \cdot 1 \) для \( n=1 \), но при \( n=1 \) это \( \frac{3\pi}{2} \)).

Интервал \( \left( \frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2} \right] \) включает точку разрыва \( x = \pi/2 + \pi = 3\pi/2 \) в конце, но функция не определена в ней.

Самое главное, интервал содержит точку разрыва \( x = \frac{\pi}{2} + \pi \cdot 1 = \frac{3\pi}{2} \) в конце. Более того, функция \( \text{tg}\, x \) возрастает на \( \left( \frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2} \right) \) (т.е. на \( \left( -\frac{\pi}{2} + \pi; \frac{\pi}{2} + \pi \right) \)). Однако, для того чтобы функция была возрастающей на промежутке, она должна быть возрастающей на всем этом промежутке, и если промежуток содержит точку разрыва или включает несколько интервалов возрастания, то она не будет возрастающей на нем целиком.

Рассмотрим промежуток \( \left( \frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2} \right] \). На интервале \( \left( \frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2} \right) \) функция возрастает. Так как \( x=\frac{3\pi}{2} \) не входит в область определения, функция не может быть возрастающей на промежутке, который включает точку разрыва.

Вывод: Функция не является возрастающей на промежутке, включающем точку разрыва, даже если она возрастает на каждом из интервалов, из которых состоит этот промежуток.

Ответ: Нет.

Пояснение: Промежуток \( \left( -\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{4} \right] \) содержит точку разрыва \( x = \frac{\pi}{2} \) (т.е. \( \frac{\pi}{2} + \pi \cdot 0 \)).

На интервале \( \left( -\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2} \right) \) функция возрастает, но при приближении к \( \frac{\pi}{2} \) справа, она 'падает' от \( +\infty \) к \( -\infty \) (начиная с \( \frac{\pi}{2} \) слева). Таким образом, функция не может быть возрастающей на промежутке, который включает точку разрыва.

Например, возьмем \( x_1 = \frac{\pi}{3} \) и \( x_2 = \frac{3\pi}{4} \). \( x_1 < x_2 \).

• \( \text{tg}(\frac{\pi}{3}) = \sqrt{3} \approx 1.73 \).
• \( \text{tg}(\frac{3\pi}{4}) = \text{tg}(\pi - \frac{\pi}{4}) = -\text{tg}(\frac{\pi}{4}) = -1 \).

Так как \( \text{tg}(\frac{\pi}{3}) > \text{tg}(\frac{3\pi}{4}) \) при \( \frac{\pi}{3} < \frac{3\pi}{4} \), условие возрастания нарушается.

Вывод: На данном промежутке функция не является возрастающей.

Ответ: Нет.

Пояснение: Проверим, содержится ли промежуток \( [2; 3] \) в интервале вида \( \left( -\frac{\pi}{2} + \pi n; \frac{\pi}{2} + \pi n \right) \).

Приближенные значения: \( \frac{\pi}{2} \approx 1.57 \), \( \pi \approx 3.14 \), \( \frac{3\pi}{2} \approx 4.71 \).

Промежуток \( [2; 3] \) попадает между \( \frac{\pi}{2} \approx 1.57 \) и \( \frac{3\pi}{2} \approx 4.71 \).

Промежуток \( [2; 3] \) полностью содержится в интервале \( \left( \frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2} \right) \) (при \( n = 1 \)).

Так как \( 1.57 < 2 \) и \( 3 < 4.71 \), то \( \frac{\pi}{2} < 2 < 3 < \frac{3\pi}{2} \). Функция \( y = \text{tg}\, x \) возрастает на интервале \( \left( \frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2} \right) \).

Вывод: На данном промежутке функция является возрастающей.

Ответ: Да.