ГДЗ: Упражнение 742 - Параграф § 42 (Свойства функции y = tg x и её график) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

742 упражнение:

Найти все корни уравнения, принадлежащие промежутку \( \left( -\frac{\pi}{2}; \pi \right) \):

1) \( \text{tg}\, 2x = 1 \);

Ответ

Шаг 1: Решаем уравнение \( \text{tg}\, 2x = 1 \).

\( 2x = \frac{\pi}{4} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \).

Общее решение: \( x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}, \quad n \in \mathbb{Z} \).

Шаг 2: Отбираем корни, принадлежащие промежутку \( \left( -\frac{\pi}{2}; \pi \right) \).

Необходимо, чтобы \( -\frac{\pi}{2} < \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2} < \pi \).

Умножим на \( \frac{8}{\pi} \): \( -4 < 1 + 4n < 8 \).

Вычтем \( 1 \): \( -5 < 4n < 7 \).

Разделим на \( 4 \): \( -1.25 < n < 1.75 \).

Целые значения \( n \): \( -1, 0, 1 \).

При \( n = -1 \): \( x_1 = \frac{\pi}{8} - \frac{\pi}{2} = \frac{\pi - 4\pi}{8} = -\frac{3\pi}{8} \). Корень подходит.
При \( n = 0 \): \( x_2 = \frac{\pi}{8} \). Корень подходит.
При \( n = 1 \): \( x_3 = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi}{2} = \frac{\pi + 4\pi}{8} = \frac{5\pi}{8} \). Корень подходит.

Ответ: \( -\frac{3\pi}{8}, \frac{\pi}{8}, \frac{5\pi}{8} \).

2) \( \text{tg}\, 3x = -\sqrt{3} \).

Ответ

Шаг 1: Решаем уравнение \( \text{tg}\, 3x = -\sqrt{3} \).

\( 3x = -\frac{\pi}{3} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \).

Общее решение: \( x = -\frac{\pi}{9} + \frac{\pi n}{3}, \quad n \in \mathbb{Z} \).

Шаг 2: Отбираем корни, принадлежащие промежутку \( \left( -\frac{\pi}{2}; \pi \right) \).

Необходимо, чтобы \( -\frac{\pi}{2} < -\frac{\pi}{9} + \frac{\pi n}{3} < \pi \).

Умножим на \( \frac{18}{\pi} \): \( -9 < -2 + 6n < 18 \).

Прибавим \( 2 \): \( -7 < 6n < 20 \).

Разделим на \( 6 \): \( -1.166... < n < 3.333... \).

Целые значения \( n \): \( -1, 0, 1, 2, 3 \).

При \( n = -1 \): \( x_1 = -\frac{\pi}{9} - \frac{\pi}{3} = -\frac{\pi + 3\pi}{9} = -\frac{4\pi}{9} \). Корень подходит.
При \( n = 0 \): \( x_2 = -\frac{\pi}{9} \). Корень подходит.
При \( n = 1 \): \( x_3 = -\frac{\pi}{9} + \frac{\pi}{3} = \frac{-1 + 3}{9}\pi = \frac{2\pi}{9} \). Корень подходит.
При \( n = 2 \): \( x_4 = -\frac{\pi}{9} + \frac{2\pi}{3} = \frac{-1 + 6}{9}\pi = \frac{5\pi}{9} \). Корень подходит.
При \( n = 3 \): \( x_5 = -\frac{\pi}{9} + \pi = \frac{8\pi}{9} \). Корень подходит.

Ответ: \( -\frac{4\pi}{9}, -\frac{\pi}{9}, \frac{2\pi}{9}, \frac{5\pi}{9}, \frac{8\pi}{9} \).

Что применять при решении

Область определения функции тангенса

Функция тангенса \( y = \text{tg}\, x \) определена для всех действительных чисел, кроме тех, где косинус равен нулю, т.е. для \( x \ne \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \).

\( D(\text{tg}\, x) = \left\{ x \in \mathbb{R} \mid x \ne \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z} \right\} \)

Периодичность функции тангенса

Функция тангенса является периодической с основным периодом \( T = \pi \). Это означает, что \( \text{tg}(x + \pi n) = \text{tg}\, x \) для любого целого числа \( n \).

\( \text{tg}(x + \pi) = \text{tg}\, x \)

Нечетность функции тангенса

Функция тангенса является нечетной, что означает симметрию ее графика относительно начала координат. \( \text{tg}(-x) = -\text{tg}\, x \).

\( \text{tg}(-x) = -\text{tg}\, x \)

Возрастание функции тангенса

Функция тангенса \( y = \text{tg}\, x \) возрастает на каждом интервале, входящем в ее область определения, т.е. на интервалах вида \( \left( -\frac{\pi}{2} + \pi n; \frac{\pi}{2} + \pi n \right), \quad n \in \mathbb{Z} \).

Решение простейших тригонометрических уравнений с тангенсом

Уравнение \( \text{tg}\, x = a \) имеет решение \( x = \text{arctg}\, a + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \).

\( \text{tg}\, x = a \implies x = \text{arctg}\, a + \pi n, n \in \mathbb{Z} \)

Другие упражнения из параграфа § 42

733 734 735 736 737 738 739 740 741 742 743 744 745 746 747 748 749

Данные параграфа

К параграфу →

Глава: Глава 7
Параграф: § 42 — Свойства функции y = tg x и её график
Учебник: Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы
Автор: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год: 2025

Уведомление об авторском праве и цитировании

ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.