ГДЗ: Упражнение 746 - § 42 (Свойства функции y = tg x и её график) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)
График функции \( y = |\text{tg}\, x| \) получается из графика \( y = \text{tg}\, x \) отражением отрицательных частей графика (лежащих ниже оси \( Ox \)) симметрично вверх относительно оси \( Ox \).
Свойства:
Функция четная.
Период \( T = \pi \).
Область значений: \( E(y) = [0; +\infty) \).
2)
\( y = \text{tg}\, |x| \);
Ответ
Построение графика:
График функции \( y = \text{tg}\, |x| \) получается из графика \( y = \text{tg}\, x \) следующим образом: для \( x \ge 0 \) график совпадает с \( y = \text{tg}\, x \), а для \( x < 0 \) график симметричен части для \( x > 0 \) относительно оси \( Oy \).
Свойства:
Функция четная.
Функция не является периодической.
Область значений: \( E(y) = [0; +\infty) \).
3)
\( y = \text{ctg}\, x \);
Ответ
Построение графика:
График функции \( y = \text{ctg}\, x \) имеет вид, аналогичный \( y = \text{tg}\, x \), но сдвинутый на \( \frac{\pi}{2} \) и отраженный относительно оси \( Oy \) (или \( Ox \)) благодаря соотношению \( \text{ctg}\, x = -\text{tg}\, (x - \frac{\pi}{2}) \). Асимптоты: \( x = \pi n \).
Свойства:
Функция нечетная.
Период \( T = \pi \).
Функция убывает на каждом интервале области определения.
4)
\( y = \frac{1}{\text{ctg}\, x} \).
Ответ
Пояснение: Используя тригонометрическое тождество, \( \frac{1}{\text{ctg}\, x} = \text{tg}\, x \).
Следовательно, \( y = \text{tg}\, x \).
Построение графика и свойства:
График и свойства функции \( y = \text{tg}\, x \) с дополнительным условием \( \text{ctg}\, x \ne 0 \), что означает \( x \ne \frac{\pi}{2} + \pi n \). Однако, это условие уже входит в область определения \( \text{tg}\, x \), поэтому:
Область определения: \( x \ne \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \).
Функция нечетная.
Период \( T = \pi \).
Что применять при решении
Область определения функции тангенса
Функция тангенса \( y = \text{tg}\, x \) определена для всех действительных чисел, кроме тех, где косинус равен нулю, т.е. для \( x \ne \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \).
\( D(\text{tg}\, x) = \left\{ x \in \mathbb{R} \mid x \ne \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z} \right\} \)
Периодичность функции тангенса
Функция тангенса является периодической с основным периодом \( T = \pi \). Это означает, что \( \text{tg}(x + \pi n) = \text{tg}\, x \) для любого целого числа \( n \).
\( \text{tg}(x + \pi) = \text{tg}\, x \)
Нечетность функции тангенса
Функция тангенса является нечетной, что означает симметрию ее графика относительно начала координат. \( \text{tg}(-x) = -\text{tg}\, x \).
\( \text{tg}(-x) = -\text{tg}\, x \)
Возрастание функции тангенса
Функция тангенса \( y = \text{tg}\, x \) возрастает на каждом интервале, входящем в ее область определения, т.е. на интервалах вида \( \left( -\frac{\pi}{2} + \pi n; \frac{\pi}{2} + \pi n \right), \quad n \in \mathbb{Z} \).
Решение простейших тригонометрических уравнений с тангенсом
Уравнение \( \text{tg}\, x = a \) имеет решение \( x = \text{arctg}\, a + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \).
\( \text{tg}\, x = a \implies x = \text{arctg}\, a + \pi n, n \in \mathbb{Z} \)
Создать проектГотовый файл Word. Оплата после того, как увидите работу.
Уведомление об авторском праве и цитировании
ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов
используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме,
оправданном поставленной целью.
Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве
(в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).
В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования
указаны для каждого используемого фрагмента.
