ГДЗ: Упражнение 744 - § 42 (Свойства функции y = tg x и её график) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Построение графика:

• График функции \( y = \text{tg}\, \left( x + \frac{\pi}{4} \right) \) получается из графика \( y = \text{tg}\, x \) сдвигом вдоль оси \( Ox \) на \( \frac{\pi}{4} \) влево.

Свойства:

1. Область определения: \( x + \frac{\pi}{4} \ne \frac{\pi}{2} + \pi n \implies x \ne \frac{\pi}{4} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \).
2. Область значений: \( E(y) = (-\infty; +\infty) \).
3. Периодичность: Функция периодическая с основным периодом \( T = \pi \).
4. Четность/Нечетность: Функция не является ни четной, ни нечетной (т.к. \( y(-x) = \text{tg}\, (-\left( x - \frac{\pi}{4} \right)) \ne \pm y(x) \)).
5. Нули функции (корни): \( \text{tg}\, \left( x + \frac{\pi}{4} \right) = 0 \implies x + \frac{\pi}{4} = \pi n \implies x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \).
6. Промежутки возрастания: Функция возрастает на интервалах \( \left( -\frac{\pi}{2} + \pi n - \frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{2} + \pi n - \frac{\pi}{4} \right) \implies \left( -\frac{3\pi}{4} + \pi n; \frac{\pi}{4} + \pi n \right), \quad n \in \mathbb{Z} \).

Построение графика:

• График функции \( y = \text{tg}\, \frac{x}{2} \) получается из графика \( y = \text{tg}\, x \) растяжением вдоль оси \( Ox \) с коэффициентом \( 2 \).

Свойства:

1. Область определения: \( \frac{x}{2} \ne \frac{\pi}{2} + \pi n \implies x \ne \pi + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \).
2. Область значений: \( E(y) = (-\infty; +\infty) \).
3. Периодичность: Функция периодическая с основным периодом \( T = \frac{\pi}{1/2} = 2\pi \).
4. Четность/Нечетность: Функция нечетная, т.к. \( y(-x) = \text{tg}\, \left( -\frac{x}{2} \right) = -\text{tg}\, \frac{x}{2} = -y(x) \).
5. Нули функции (корни): \( \text{tg}\, \frac{x}{2} = 0 \implies \frac{x}{2} = \pi n \implies x = 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \).
6. Промежутки возрастания: Функция возрастает на интервалах \( \left( -\frac{\pi}{2} \cdot 2 + 2\pi n; \frac{\pi}{2} \cdot 2 + 2\pi n \right) \implies (-\pi + 2\pi n; \pi + 2\pi n), \quad n \in \mathbb{Z} \).