ГДЗ: Упражнение 745 - § 42 (Свойства функции y = tg x и её график) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)
Пояснение: Промежуток \( \left[ -\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{3} \right] \) полностью содержится в интервале возрастания \( \left( -\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2} \right) \).
Так как функция \( y = \text{tg}\, x \) возрастает на этом промежутке, ее множество значений (образ отрезка) будет \([ \text{tg}\, (-\frac{\pi}{4}); \text{tg}\, (\frac{\pi}{3}) ] \).
Пояснение: Промежуток \( \left[ \frac{3\pi}{4}; \frac{3\pi}{2} \right) \) является частью интервала возрастания \( \left( \frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2} \right) \).
Так как функция \( y = \text{tg}\, x \) возрастает на этом промежутке, ее множество значений будет \([ \text{tg}\, (\frac{3\pi}{4}); \lim_{x \to \frac{3\pi}{2}^-} \text{tg}\, x ) \).
Пояснение: Промежуток \( \left[ \frac{3\pi}{4}; \frac{7\pi}{4} \right] \) содержит точку разрыва \( x = \frac{3\pi}{2} \) (так как \( \frac{3\pi}{4} < \frac{3\pi}{2} < \frac{7\pi}{4} \)).
Множество значений на \( [\frac{3\pi}{4}; \frac{3\pi}{2}) \) равно \( [\text{tg}\, \frac{3\pi}{4}; \lim_{x \to \frac{3\pi}{2}^-} \text{tg}\, x) = [-1; +\infty) \) (см. п. 2).
Множество значений на \( (\frac{3\pi}{2}; \frac{7\pi}{4}] \) равно \( (\lim_{x \to \frac{3\pi}{2}^+} \text{tg}\, x; \text{tg}\, \frac{7\pi}{4}] \).
При \( x \to \frac{3\pi}{2}^+ \), \( \text{tg}\, x \to -\infty \).
Множество значений на \( (\frac{3\pi}{2}; \frac{7\pi}{4}] \) равно \( (-\infty; -1] \).
Объединение этих множеств: \( [-1; +\infty) \cup (-\infty; -1] = (-\infty; +\infty) \).
Ответ: \( (-\infty; +\infty) \).
Что применять при решении
Область определения функции тангенса
Функция тангенса \( y = \text{tg}\, x \) определена для всех действительных чисел, кроме тех, где косинус равен нулю, т.е. для \( x \ne \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \).
\( D(\text{tg}\, x) = \left\{ x \in \mathbb{R} \mid x \ne \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z} \right\} \)
Периодичность функции тангенса
Функция тангенса является периодической с основным периодом \( T = \pi \). Это означает, что \( \text{tg}(x + \pi n) = \text{tg}\, x \) для любого целого числа \( n \).
\( \text{tg}(x + \pi) = \text{tg}\, x \)
Нечетность функции тангенса
Функция тангенса является нечетной, что означает симметрию ее графика относительно начала координат. \( \text{tg}(-x) = -\text{tg}\, x \).
\( \text{tg}(-x) = -\text{tg}\, x \)
Возрастание функции тангенса
Функция тангенса \( y = \text{tg}\, x \) возрастает на каждом интервале, входящем в ее область определения, т.е. на интервалах вида \( \left( -\frac{\pi}{2} + \pi n; \frac{\pi}{2} + \pi n \right), \quad n \in \mathbb{Z} \).
Решение простейших тригонометрических уравнений с тангенсом
Уравнение \( \text{tg}\, x = a \) имеет решение \( x = \text{arctg}\, a + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \).
\( \text{tg}\, x = a \implies x = \text{arctg}\, a + \pi n, n \in \mathbb{Z} \)
Создать проектГотовый файл Word. Оплата после того, как увидите работу.
Уведомление об авторском праве и цитировании
ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов
используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме,
оправданном поставленной целью.
Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве
(в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).
В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования
указаны для каждого используемого фрагмента.
