ГДЗ: Упражнение 762 - Глава 7 (Итоговые упражнения) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Решим уравнение: \( 2\cos x = -\sqrt{3} \), то есть \( \cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2} \).

• Общее решение: \( x = \pm \left(\pi - \arccos \frac{\sqrt{3}}{2}\right) + 2\pi n = \pm \left(\pi - \frac{\pi}{6}\right) + 2\pi n = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).

• Найдем корни, принадлежащие \( [0; 3\pi] \):

  1. Серия \( x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n \):
     При \( n=0 \): \( x = \frac{5\pi}{6} \). (\( 0 < \frac{5\pi}{6} < 3\pi \))
     При \( n=1 \): \( x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi = \frac{5\pi + 12\pi}{6} = \frac{17\pi}{6} \). (\( \frac{17\pi}{6} = 2\pi + \frac{5\pi}{6} < 3\pi \))
     При \( n=2 \): \( x = \frac{5\pi}{6} + 4\pi > 3\pi \). (Не подходит)

  2. Серия \( x = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi n \):
     При \( n=0 \): \( x = -\frac{5\pi}{6} \). (Не подходит)
     При \( n=1 \): \( x = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi = \frac{-5\pi + 12\pi}{6} = \frac{7\pi}{6} \). (\( 0 < \frac{7\pi}{6} < 3\pi \))
     При \( n=2 \): \( x = -\frac{5\pi}{6} + 4\pi = \frac{-5\pi + 24\pi}{6} = \frac{19\pi}{6} \). (\( \frac{19\pi}{6} > 3\pi \)) (Не подходит)

Ответ: Корни на промежутке \( [0; 3\pi] \) - это \( \frac{5\pi}{6}, \frac{7\pi}{6}, \frac{17\pi}{6} \).

Решим уравнение: \( \sin x = \sqrt{3} \).

• Поскольку \( \sqrt{3} \approx 1.732 \), то \( \sin x = \sqrt{3} > 1 \).

• Область значений функции \( \sin x \) - это \( [-1; 1] \).

• Уравнение не имеет действительных решений.

Ответ: Нет корней.

Решим уравнение: \( \operatorname{tg} x = \frac{\sqrt{3}}{3} \).

• Общее решение: \( x = \operatorname{arctg} \left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right) + \pi n = \frac{\pi}{6} + \pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).

• Найдем корни, принадлежащие \( [0; 3\pi] \):

  1. При \( n=0 \): \( x = \frac{\pi}{6} \). (\( 0 < \frac{\pi}{6} < 3\pi \))

  2. При \( n=1 \): \( x = \frac{\pi}{6} + \pi = \frac{7\pi}{6} \). (\( 0 < \frac{7\pi}{6} < 3\pi \))

  3. При \( n=2 \): \( x = \frac{\pi}{6} + 2\pi = \frac{13\pi}{6} \). (\( 0 < \frac{13\pi}{6} < 3\pi \))

  4. При \( n=3 \): \( x = \frac{\pi}{6} + 3\pi = \frac{19\pi}{6} \). (\( \frac{19\pi}{6} > 3\pi \)) (Не подходит)

Ответ: Корни на промежутке \( [0; 3\pi] \) - это \( \frac{\pi}{6}, \frac{7\pi}{6}, \frac{13\pi}{6} \).

Решим уравнение: \( \cos x = -1 \).

• Общее решение: \( x = \pi + 2\pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).

• Найдем корни, принадлежащие \( [0; 3\pi] \):

  1. При \( n=0 \): \( x = \pi \). (\( 0 < \pi < 3\pi \))

  2. При \( n=1 \): \( x = \pi + 2\pi = 3\pi \). (\( 3\pi \in [0; 3\pi] \))

  3. При \( n=-1 \): \( x = \pi - 2\pi = -\pi \). (Не подходит)

Ответ: Корни на промежутке \( [0; 3\pi] \) - это \( \pi, 3\pi \).