ГДЗ: Упражнение 765 - Глава 7 (Итоговые упражнения) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Функция тангенса \( \operatorname{tg} \alpha \) определена, когда \( \alpha \ne \frac{\pi}{2} + \pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \).

• В нашем случае \( \alpha = 2x + \frac{\pi}{6} \).
  Необходимо: \( 2x + \frac{\pi}{6} \ne \frac{\pi}{2} + \pi k \).

• Решим для \( x \):
  \( 2x \ne \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6} + \pi k \)
  \( 2x \ne \frac{3\pi - \pi}{6} + \pi k \)
  \( 2x \ne \frac{2\pi}{6} + \pi k \)
  \( 2x \ne \frac{\pi}{3} + \pi k \)
  \( x \ne \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{2} \), где \( k \in \mathbb{Z} \).

Ответ: \( D(y) = \mathbb{R} \setminus \left\{ \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{2} \mid k \in \mathbb{Z} \right\} \).

Функция определена, если выполнены два условия:

• 1. Условие на тангенс: \( \operatorname{tg} x \) должно быть определено.
  \( x \ne \frac{\pi}{2} + \pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \).

• 2. Условие на корень: Подкоренное выражение должно быть неотрицательно.
  \( \operatorname{tg} x \ge 0 \).

• Тангенс неотрицателен в I и III четвертях.
  Общее решение неравенства \( \operatorname{tg} x \ge 0 \) с учётом области определения тангенса:
  \( \pi k \le x < \frac{\pi}{2} + \pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \).

Ответ: \( D(y) = [\pi k; \frac{\pi}{2} + \pi k) \), где \( k \in \mathbb{Z} \).