ГДЗ: Упражнение 769 - Глава 7 (Итоговые упражнения) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Для нахождения числа корней уравнения \( \cos x = |x| \) построим графики функций \( y_1 = \cos x \) и \( y_2 = |x| \) и найдем число точек их пересечения.

• График \( y_1 = \cos x \): Периодическая функция, \( E(y_1) = [-1; 1] \). Максимум в \( (0, 1) \).

• График \( y_2 = |x| \): График 'галочка' с вершиной в \( (0, 0) \).

• Анализ:
  1. При \( x = 0 \): \( \cos 0 = 1 \), \( |0| = 0 \).
  2. Корни могут существовать только там, где \( |x| \le 1 \), то есть \( x \in [-1; 1] \).

• На интервале \( [-1; 1] \):
  \( y_1 \) убывает от 1 до \( \cos 1 \approx 0.54 \) при \( x \in [0; 1] \).
  \( y_2 \) возрастает от 0 до 1 при \( x \in [0; 1] \).
  В \( x=0 \), \( \cos x > |x| \). В \( x=1 \), \( \cos x < |x| \).
  Поскольку функции непрерывны, существует ровно один корень \( x_0 \in (0; 1) \).
  В силу чётности обеих функций, если \( x_0 \) - корень, то и \( -x_0 \) - корень.

• Поскольку \( \cos x \le 1 \) и \( |x| \ge 0 \), и \( \cos 0 = 1 \), а \( \cos x \) убывает/возрастает от 1, а \( |x| \) возрастает/убывает от 0, существует ровно два симметричных корня (кроме \( x=0 \)).

Ответ: Уравнение имеет 2 корня.

Для нахождения числа корней уравнения \( \sin x = -|x + 1| \) построим графики функций \( y_1 = \sin x \) и \( y_2 = -|x + 1| \) и найдем число точек их пересечения.

• График \( y_1 = \sin x \): Периодическая функция, \( E(y_1) = [-1; 1] \).

• График \( y_2 = -|x + 1| \): График 'перевёрнутой галочки' с вершиной в \( (-1, 0) \). \( E(y_2) = (-\infty; 0] \).

• Анализ:
  1. Поскольку \( \sin x \in [-1; 1] \) и \( -|x + 1| \le 0 \), решения могут быть только там, где \( -1 \le -|x + 1| \le 0 \), то есть \( 0 \le |x + 1| \le 1 \).
  \( |x + 1| \le 1 \) означает \( -1 \le x + 1 \le 1 \), что равносильно \( -2 \le x \le 0 \).

• На интервале \( [-2; 0] \):
  \( y_2 = -|x + 1| \):
  При \( x \in [-2; -1] \): \( y_2 = -(-(x + 1)) = x + 1 \).
  При \( x \in [-1; 0] \): \( y_2 = -(x + 1) = -x - 1 \).
  \( y_2(-2) = -1 \), \( y_2(-1) = 0 \), \( y_2(0) = -1 \).

• \( y_1 = \sin x \):
  \( y_1(-2) = \sin (-2) \approx -0.909 \).
  \( y_1(-1) = \sin (-1) \approx -0.841 \).
  \( y_1(0) = 0 \).

• I. При \( x = 0 \): \( \sin 0 = 0 \), \( -|0 + 1| = -1 \). \( 0 \ne -1 \).
  II. В \( x = -1 \): \( \sin (-1) \approx -0.841 \), \( -|-1 + 1| = 0 \). \( -0.841 \ne 0 \).

• На \( [-2; -1] \): \( \sin x \) возрастает от \( -0.909 \) до \( -0.841 \). \( x+1 \) возрастает от \( -1 \) до \( 0 \).
  На \( [-1; 0] \): \( \sin x \) возрастает от \( -0.841 \) до \( 0 \). \( -x-1 \) убывает от \( 0 \) до \( -1 \).

• В \( x=-2 \), \( \sin x \approx -0.909 > -1 \).
  В \( x=-1 \), \( \sin x < 0 \).
  В \( x=0 \), \( \sin x > -1 \).

• На интервале \( [-2; 0] \) \( y_1 \) и \( y_2 \) не имеют общих точек, кроме точки, где \( \sin x = 0 \).
  Корень \( x=0 \) не подходит.

• В \( x = -\frac{\pi}{2} \approx -1.57 \): \( \sin x = -1 \). \( -|-1.57 + 1| = -0.57 \). \( -1 \ne -0.57 \).

Ответ: Уравнение не имеет корней (0 корней).