Необходимо найти \( x \), при которых \( y > 0 \).
\( 1.5 - 2\sin^2 \frac{x}{2} > 0 \).
Преобразуем неравенство: \( 2\sin^2 \frac{x}{2} < 1.5 \), то есть \( \sin^2 \frac{x}{2} < 0.75 = \frac{3}{4} \).
Извлечём квадратный корень: \( \left| \sin \frac{x}{2} \right| < \frac{\sqrt{3}}{2} \), что равносильно \( -\frac{\sqrt{3}}{2} < \sin \frac{x}{2} < \frac{\sqrt{3}}{2} \).
Решим неравенство относительно \( \alpha = \frac{x}{2} \).
На промежутке \( [-\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}] \):
\( \sin \alpha < \frac{\sqrt{3}}{2} \) на \( (-\infty; \frac{\pi}{3}) \cup (\frac{2\pi}{3}; \infty) \).
\( \sin \alpha > -\frac{\sqrt{3}}{2} \) на \( (-\frac{\pi}{3}; \frac{4\pi}{3}) \).Объединяем: \( -\frac{\pi}{3} + 2\pi k < \frac{x}{2} < \frac{\pi}{3} + 2\pi k \) и
\( \frac{2\pi}{3} + 2\pi n < \frac{x}{2} < \pi - \left(-\frac{\pi}{3}\right) + 2\pi n \) (неверно).
Общее решение: \( -\frac{\pi}{3} + \pi k < \frac{x}{2} < \frac{\pi}{3} + \pi k \).Умножим на 2: \( -\frac{2\pi}{3} + 2\pi k < x < \frac{2\pi}{3} + 2\pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \).
Альтернативный метод: Формула понижения степени: \( 2\sin^2 \frac{x}{2} = 1 - \cos x \).
\( y = 1.5 - (1 - \cos x) = 0.5 + \cos x \).
Неравенство: \( 0.5 + \cos x > 0 \), то есть \( \cos x > -0.5 = -\frac{1}{2} \).Общее решение неравенства \( \cos x > -\frac{1}{2} \):
\( -\frac{2\pi}{3} + 2\pi k < x < \frac{2\pi}{3} + 2\pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \).
Ответ: \( -\frac{2\pi}{3} + 2\pi k < x < \frac{2\pi}{3} + 2\pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \).